1.6. Примеры решения задач по электромагнетизму

Пример 1. По контуру, изображённому на рисунке, идёт ток силой I = 10 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги ,

Решение

По принципу суперпозиции полей

.

Магнитную индукцию, создаваемую дугой AB, найдём путём интегрирования:

.

Для нахождения магнитной индукции, создаваемой проводником BC, воспользуемся формулой

где

С учётом данных значений

Магнитная индукция В_СА, создаваемая проводником СА в точке О, равна нулю, т. к. для любого элемента Поскольку вектор направлен от наблюдателя, а вектор – к наблюдателю, то результирующая индукция равна

.

Пример 2. Рядом с длинным прямым проводом MN, по которому течёт ток силой I₁, расположена квадратная рамка со стороной b, обтекаемая током силой I₂. Рамка лежит в одной плоскости с проводником MN, так что её сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии a. Определить магнитную силу, действующую на рамку, а также работу этой силы при удалении рамки из магнитного поля.

Решение

Рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, создаваемым бесконечно длинным проводником MN:

Каждая сторона рамки будет испытывать действие сил Ампера, направление которых показано на рисунке. Так как стороны ­­ АВ и D C расположены одинаково относительно провода MN, действующие на них силы численно равны и равнодействующая всех сил, приложенных к рамке, равна F=F₁–F₂ ,

г де , a

Окончательно

Работа по удалению рамки из магнитного поля равна

.

Для нахождения магнитного потока через рамку в неоднородном магнитном поле разделим её на узкие полосы шириной dx, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоянной. Элементарный магнитный поток через полоску, находящуюся на расстоянии x от прямого тока, равен где знак минус обусловлен тем, что B_n =-B.

После интегрирования по x найдём:

.

Окончательно

Пример 3. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B = 50 мТл). По проводу течёт ток I = 10 А. Найти силу F, действующую на провод если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Решение

Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции и выделим на нём малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по закону Ампера сила Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рисунке. Силу dF представим в виде

,

где i и j – единичные векторы (орты); dF_x и dF_y – проекции вектора dF на координатные оси O_x и O_y.

Силу F, действующую на весь провод, найдём интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведётся по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю . Тогда

. (1)

Из рисунка следует, что dF_y = dFcosα, где dF – модуль вектора ( ). Так как вектор перпендикулярен вектору ( ), то . Выразив длину дуги dl через радиус R и угол α, получим

.

Тогда

.

Введём под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от –π/2 до +π/2 (как это следует из рисунка):

.

Из полученного выражения видно, что сила сонаправлена с положительным направлением оси Oy (единичным вектором ). Найдём модуль силы :

Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт единицу силы (Н):

[I][B][R]=1А·1Тл·1м = 1А·1Н·1м·1м/(1А·(1м)²)=1Н.

Произведём вычисления: F = 2·10·50·10^-3·0,1Н = 0,1Н.

Пример 4. В центре длинного соленоида, имеющего n=510³ витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S = 4 см². Рамка может вращаться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида. При пропускании тока по рамке и соленоиду, соединённых последовательно, рамка повернулась на угол  = 60. Oпреде- лить силу тока, если жёсткость пружины, удерживающей рамку в положении равновесия, равна k = 610^–5Н·м / рад.