Пример выполнения задания
1. Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.10, составить на основе законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов в ветвях схемы и записать ее в двух формах: дифференциальной и символической.
З
апишем
систему уравнений в дифференциальной
форме записи для мгновенных значений
ЭДС, токов и напряжений.
Необходимо помнить, что зависимости между мгновенными значениями напряжений и токов реактивных элементов дифференциально-интегральные:
(1.14)
Запишем систему уравнений в символической форме записи. Для этого от синусоидальных функций времени перейдем к их изображению комплексными числами.
Система уравнений, записанная по законам Кирхгофа, будет иметь вид:
(1.15)
2. Рассчитать действующие комплексные значения токов в ветвях схемы (рис. 1.10). Построить векторную диаграмму токов и напряжений на всех элементах цепи.
Параметры элементов цепи:
R1 =80 Ом, R3 =60 Ом, L2 =40 мГн, L3 =30 мГн, C1 =10 мкФ.
Расчет цепи будем выполнять в комплексной форме, для чего перейдем от мгновенных ЭДС к их комплексным действующим значениям:
Рассчитаем комплексные сопротивления ветвей:
(1.16)
,
(1.17)
,
(1.18)
,
Ом,
,
Ом,
,
Ом.
Произвольно выбранное положительное направление токов в ветвях схемы показано на рис. 1.11.
Так как схема имеет всего два узла, то для расчета токов применим частный случай метода узловых потенциалов – метод двух узлов. Согласно этому методу напряжение меду узлами 1 и 2 определяется как:
(1.19)
где комплексные проводимости параллельных ветвей находятся:
(1.20)
(1.21)
(1.22)
Подставим значения комплексных ЭДС и проводимостей в формулу для определения напряжения:
Рассчитаем токи в ветвях цепи, пользуясь законом Ома для ветви с ЭДС:
(1.23)
(1.24)
(1.25)
Для построения векторной диаграммы рассчитаем напряжения на всех элементах цепи:
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
На комплексной плоскости построим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 2.4) и покажем на ней выполнение законов Кирхгофа:
(1.31)
3. Записать мгновенные значения тока первой ветви и напряжения на ее зажимах. Построить временные зависимости этих функций в одних осях координат.
В результате расчетов в комплексной форме были получены значения тока и напряжения:
Мгновенные значения тока и напряжения можно записать:
Построим временные диаграммы этих синусоидальных функций.
При построении временных диаграмм необходимо помнить, что если синусоида имеет ненулевую начальную фазу, то она смешается относительно начала координат:
в случае начальной фазы больше нуля ψ>0 – влево;
в случае начальной фазы меньше нуля ψ<0 – вправо.
Временные диаграммы заданных синусоидальных функций построены на рис. 1.13.
Рис. 1.13
4. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности приемников и источника цепи. Проверить баланс мощностей. Определить коэффициент мощности цепи.
Определим активную, реактивную и полную мощности приемников.
Суммарная активная мощность:
(1.32)
Суммарная реактивная мощность:
(1.33)
Полная мощность приемников:
,
(1.34)
Рассчитаем активную, реактивную и полную мощности источников.
Суммарная активная мощность источников:
(1.35)
Суммарная реактивная мощность источников:
(1.36)
где
тогда
Полная мощность источников:
(1.37)
Уравнения баланса мощностей:
Рист=Рпр
94,19 Вт ≈193,12 Вт;
Qист= Qпр
210,65 ВАр ≈ 209,8 Вар;
Sист=Sпр
286,5 ВА ≈ 285,15 ВА.
Баланс мощностей выполняется.