Дифференциальное уравнение теплопроводности
Если рассмотреть твердое тело со следующими свойствами:
изотропное, однофазное тело.
твердое (т. е. его частицы неподвижны).
свойства – постоянны:
C=const - теплоемкость;
λ=const – коэффициент теплопроводности;
ρ=const – плотность .
Внутри тела содержатся внутренние источники тепла с интенсивностью gv.
Если это тело находится в условиях неравномерного температурного поля, то для него справедливо уравнение теплопроводности:
,
где x,y,z – координаты. Или:
,
где
– коэффициент температуропроводности
,
-
оператор Лапласа.
Уравнение без вывода. Вывод приведен в учебниках.
Если внутренние источники отсутствуют, то
Если поле стационарное, то
Если еще и одномерное, то
Условия однозначности в процессах теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности (далее Д.У.Т.)
(и его частные случаи) имеют большое количество решений. Чтобы выбрать изо всех решений единственное, нужно учесть условия процесса или условия однозначности.
Условиями однозначности называются частные условия протекания процесса теплопроводности, которые совместно с Д.У.Т. дают полное математическое описание этого процесса.
Под условиями однозначности понимают
геометрические условия (форма и размеры тела);
физические условия (зависимость теплофизических свойств от температуры, конкретные величины отдельных теплофизических параметров);
начальные условия (распределение температур в теле в начальный момент времени);
граничные условия, характеризующие, взаимодействие тела с окружающей средой.
Первые два условия задаются всегда в виде точного описания формы, линейных размеров тела, задания физпараметров, задания закона распределения внутренних тепловых источников.
Начальные условия.
Задаются
в виде 
В
простейшем случае 
Граничные условия (Г.У.) могут быть заданы несколькими способами.
Г.У. первого рода.
При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени
tc – температура «стенки» - температура поверхности тела.
Простейший случай:
tc =t0 = const (обогрев паром, напр.)
Г.У. второго рода.
При этом в каждой точке поверхности тела задаются тепловые потоки
Простейший
случай 
(обогрев электронагревателем , например).
Г.У. третьего рода.
При
этом задается температура окружающей
среды 
и
коэффициент теплоотдачи 
Примечание: забегая вперед, можно сказать, что количество тепла, отдаваемое в окружающую среду единицей поверхности тела в единицу времени пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды
[закон Ньютона – Рихмана];
где
– коэф. теплоотдачи 
.
Простейший
случай 
,
.
Г.У. четвертого рода.
Задаются в том случае, когда теплопроводность осуществляется между двумя состыкованными телами (рисунок 15).
Рис. 15. Граничные условия четвертого рода
В этом случае имеет место равенство тепловых потоков в месте контакта т.е.
Тангенс угла наклона касательной к температурному графику (угла между касательной и нормалью к изотермической поверхности) вдоль нормали к изотермической поверхности
Поэтому Г.У. 4-го рода задают в виде
В простейшем случае
Теплопроводность при стационарном режиме
Наиболее часто в инженерной практике встречаются процессы переноса тепла в твердых телах при неизменных или чрезвычайно медленно изменяющихся граничных условиях. Такие процессы называются соответственно стационарными и квазистационарными. В большинстве случаев такие задачи могут быть решены прямым интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений.