Решение

При появлении тока рамка установится в таком положе- нии, когда момент сил магнитного поля М уравновесится моментом упругих сил пружины: M=M_упр.

По определению где – магнитный момент, – индукция поля соленоида.

С учётом этих выражений имеем:

Заметим, что вначале, когда тока нет,

Согласно закону Гука

где и, следовательно,

Таким образом, откуда

Пример 5. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I = 50А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l=65см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение

Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

.

В нашем случае вектор магнитной индукции перпенди- кулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки B_n=B. Магнитная индукция B, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где х – расстояние от провода до точки, в которой опреде- ляется B.

Для вычисления магнит- ного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то

dФ=В(х)dS.

Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (см. рис.). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

.

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x₁= a до x₂ = 2a, найдём

.

Подставив пределы, получим

.

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб):

[μ₀][I][l] = 1Гн/м·1А·1м = 1 Вб.

Произведя вычисления, найдём Ф = 4,5 мкВб.

Пример 6. В однородном магнитном поле (В=0,2Тл) равномерно с частотой ν = 600 мин^-1 вращается рамка, содержа- щая N=1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S=100см². Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

Решение

Согласно закону электромагнитной индукции

где Ф = NBScos α – полный магнитный поток, пронизывающий рамку.

При вращении рамки угол , образованный норма- лью n к плоскости рамки и линиями индукции В, изменятся по закону

.

Подставив в закон электромагнит- ной индукции выражение магнитного потока и продифференцировав по време ни, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Максимальное значение ЭДС определится при условии, что sin 2πνt =1. Таким образом,

.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

Произведем вычисление:

.

Пример 7. Определить индукцию В и напряжённость Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке кото- рого, содержащей N=200 витков, идёт ток I=5А. Внешний диаметр d₁ тороида равен 30 см, внутренний d₂=20см.