Решение

Рамка с током находится в неоднородном магнитном поле, создаваемым бесконечно длинным проводником MN:

Каждая сторона рамки будет испытывать действие сил Ампера, направление которых показано на рисунке. Так как стороны ­­ АВ и D C расположены одинаково относительно провода MN, действующие на них силы численно равны и равнодействующая всех сил, приложенных к рамке, равна F=F₁–F₂ ,

где , a

Окончательно

Работа по удалению рамки из магнитного поля равна

.

Для нахождения магнитного потока через рамку в неоднородном магнитном поле разделим её на узкие полосы шириной dx, в пределах которых магнитную индукцию можно считать постоян- ной. Элементарный магнитный поток через полоску, находящуюся на расстоянии x от прямого тока, равен где знак минус обусловлен тем, что B_n =-B.

После интегрирования по x найдём:

.

Окончательно

Пример 3. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B = 50 мТл). По проводу течёт ток I = 10 А. Найти силу F, действующую на провод если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

Решение

Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции и выделим на нём малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по закону Ампера сила Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рисунке. Силу dF представим в виде

,

где i и j – единичные векторы (орты); dF_x и dF_y – проекции вектора dF на координатные оси O_x и O_y.

Силу F, действующую на весь провод, найдём интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведётся по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю . Тогда

. (1)

Из рисунка следует, что dF_y = dFcosα, где dF – модуль вектора ( ). Так как вектор перпендикулярен вектору ( ), то . Выразив длину дуги dl через радиус R и угол α, получим

.

Тогда

.

Введём под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от –π/2 до +π/2 (как это следует из рисунка):

.

Из полученного выражения видно, что сила сонаправлена с положительным направлением оси Oy (единичным вектором ). Найдём модуль силы :

Убедимся в том, что правая часть этого равенства даёт единицу силы (Н):

[I][B][R]=1А·1Тл·1м = 1А·1Н·1м·1м/(1А·(1м)²)=1Н.

Произведём вычисления: F = 2·10·50·10^-3·0,1Н = 0,1Н.

Пример 4. В центре длинного соленоида, имеющего n=510³ витков на метр, помещена рамка, состоящая из N=50 витков провода площадью S=4см². Рамка может вращаться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида. При пропуска- нии тока по рамке и соленоиду, соединённых последовательно, рамка повернулась на угол  = 60. Oпределить силу тока, если жёсткость пружины, удерживающей рамку в положении равно- весия, равна k = 610^–5Н·м / рад.