Тема №4 вычиление интегралов с помощью функции комплексного переменного
Литература: [2], [7], [8].
Пример 1.
Вычислить интеграл:
Решение:
Интеграл такого вида может быть преобразован в контурный, используя следующие выражения:
Воспользуемся этими данными и перейдем к контурному интеграла:
Подынтегральная
функция имеет две особые точки:
Точка
не попадает в область, ограниченную
контуром интегрирования.
Точка
является полюсом второго порядка.
Вычислим в этой точке вычет:
По основной теореме Коши о вычетах:
Ответ:
.
Пример 2.
Вычислить интеграл:
Решение:
Известно, что если функция рациональная, а ее числитель и знаменатель представляют собой многочлены, причем степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то можно применить следующую формулу:
сумма
вычетов берется по всем полюсам
полуплоскости
Преобразуем исходный материал:
Особые точки:
Точки и являются простыми полюсами и вычета в них вычисляются следующим образом:
Используем
приведенную в начале задачи формулу:
.
Ответ:
Пример3.
Вычислить интеграл:
Решение:
Для вычисления интегралов такого вида применяется
специальная формула:
Исходная функция полностью удовлетворяет условиям
применения данной формулы.
Найдем
:
Сумма
вычетов берется по верхней полуплоскости
.
Из этого следует:
Эта особая точка является полюсом второго порядка. Найдем в ней вычет для каждой из функций:
Используем записанную ранее формулу и найдем интеграл:
Ответ:
Форма отчетности: устный опрос
Заключение
Данные методические указания помогут студентам освоить курс математики, а также предоставят широкие возможности для активного самостоятельного изучения практической и теоретической части курса математики.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………….…….1
1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)..2
2. Содержание разделов дисциплины во втором семестре…….5
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины……….…...7
4. Методические рекомендации по организации изучения
математики……………………………………………………....9
5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий….....10
6. Лабораторные работы…………………………..……………12
7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение.….…....…13
Заключение………………………………………………………40
Методические указания
к изучению курса «Высшая математика» (план – график, первый курс, второй семестр) по направлению 220400.62 «Управление в технических системах», профиль «Управление и информатика в технических системах», очной формы обучения
Составители: Катрахова Алла Анатольевна,
Купцов Валерий Семенович,
Васильев Евгений Михайлович
В авторской редакции
Подписано к изданию 4.04. 2013.
Уч.-изд. л. 2,4
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»