6. Лабораторные работы

Неде- ля семе- стра		Наименование лабораторной работы	Объ- ем ча- сов	В том числе в интерактивной форме (ИФ)	Виды контроля
2 семестр			18	18
23	Решение системы линейных уравнений методом Гаусса		2	2	отчет
25	Интерполирование		2	2	отчет
27	Решение нелинейных уравнений		2	2	отчет
29	Численное интегрирование		2	2	отчет
31	Приближение таблично заданной функции по методу наименьших квадратов		2	2	отчет
33-35	Численное решение дифференциальных уравнений		4	4	отчет
37	Применение рядов в приближенных вычислениях		2	2	отчет
39	Гармонический анализ		2	2	отчет

7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение

ТЕМА №1

Численные методы решения

задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы

Эйлера и Рунге-КутТа

Литература: [13], [19].

Основные понятия

Задано дифференциальное уравнение первого порядка

(6)

С начальным условием

(7)

Задача нахождения при решения дифференциального уравнения (6), удовлетворяющему начальному условию (7), называется задачей Коши. Чаще ограничиваются определением решения на конечном отрезке [a,b].

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Чаще всего , где n-число разбиений, - шаг.

В методе Эйлера величины вычисляются по формуле . (8)

Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчёта точки требуется информация только о последней вычисленной точке . Геометрическая интерпретация одного шага методом Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке касательной , проведённой в точке к интегральной кривой, проходящей через эту точку. А так как и , то . Таким образом, после выполнения N шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера), для которой угловой коэффициент очередного i-го звена . Для оценки погрешности метода на одном шаге точное решение раскладывается в ряд Тейлора в окрестности узла . Сравнение этого разложения с формулой (8) показывает, что они согласуются до членов первого порядка по h. Поэтому метод Эйлера-метод первого порядка точности.

В модифицированном методе Эйлера (методе Эйлера-Коши или методе Ньютона) вычисления разбивают на два этапа. На первом этапе (этапе прогноза) в соответствии с методом Эйлера вычисляют грубое приближение , где . В точке определяют угловой коэффициент . На втором этапе (этапе коррекции) вычисляют усреднённое значение углового коэффициента

. Уточненное значение находят по формуле .

В результате получается расчетная формула

(9)

Этот метод имеет второй порядок точности.

Форма отчетности: устный опрос.