Определение внутренних усилий.

Проведем сечение 1-1 и рассмотрим равновесие левой отброшенной части. Действие отброшенной части заменяем плоской системой распределенных по сечению сил. Эти силы, как и в случае жесткой заделки, представляют одной приложенной в центре сечения силой с двумя неизвестными составляющими X₁₁ , Y₁₁ и парой с неизвестным моментом M₁₁

Реакции X_А , Y_A направим противоположно принятым на рис. 18.

Составим для действующих на рассматриваемую часть стержневой системы сил условия равновесия:

ΣF_kX = + X_A – F· sinα + X _1-1 = 0 ;

ΣF_kY = – Y_A + F·cos α + Y₁₁ + q l/4 = 0;

Σ M_О(F_k) = M₁₁ – X_A ·2 l +Y_A ·(3/4) l – М – (q l/4)(1/2· l/4) – F·cos α · l/4 = 0.

По данным задания найдем из составленных уравнений:

X _1-1= F· sinα – X_A : X _1-1 = 8·sin 60⁰ – 4.072 = 2.828 kH;

Y₁₁ = Y_A – F·cos α – q l/4 = 20 – 8·cos 60⁰ – 20·0.4 /4 = 14 kH.

M _1-1 = X_A ·2 l – Y_A ·(3/4) l + M + (q·l/4)(1/2· l/4) + F·cos α · l/4 = 4.072·2·0.4 – 20·(3/4)·0.4 + 20·(0.4/4)·1/2· l/4+8·cos60⁰·0.4/4 =7.758 kH.

Таким образом, на правую часть стержневой системы в сечении 1-1 действуют:

продольная сила X _1-1 = 2.828 kH, вызывающая в данном случае растяжение;

2) поперечная сила Y _1-1 = 14 kH, стремящаяся сдвинуть примыкающую к сечению часть стержневой системы вдоль линии1-1;

3) пара с моментом M _1-1 = 7.758 kH, называемым изгибающим моментом, которая в данном случае вызывает растяжение нижних волокон cтержневой системы и сжатие верхних.

Пример 3. Определить усилия в стержнях фермы (рис. 20).

Дано: ферма, представленная на рис. 20;

d=5 м; h=5 м.P₁=10 kH; P₂ = 30 kH ; h₁= h/3: h₂ = 2h/3.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие фермы, рассматривая ферму в целом как твердое тело (рис. 20). Составим уравнения равновесия в форме 2:

Σm_A(F_k) = R_B·6d – (P₁ + P₂)·5d – (P₁ + P₂)·4d – (P₁ + P₂)·3d – (P₁ + P₂)·2d –

– (P₁ + P₂)· d = 0; R_B·6d = (P₁ + P₂)d·(5 +4 + 3 + 2 + 1);

R_B = (15/6)·(10 +30) = 100 kH;

Σm_B(F_k) = – R_A·6d + (P₁ + P₂)·5d + (P₁ + P₂)·4d + (P₁ + P₂)·3d + (P₁ + P₂)·2d+ +(P₁ + + P₂)· d = 0; R_A·6d = (P₁ + P₂)d·(5 +4 + 3 + 2 + 1);

R_A = (15/6)·(10 +30) = 100 kH.

Проверка: Σ Y = R_A + R_B = 5·40 kH; 200 kH ≡ 200 kH

Определим усилия в стержнях фермы. Для этого, предварительно, найдем некоторые геометрические характеристики.

Рассмотрим треугольник (1 – 2 – 8), рис. 20; d_1-2= d = 5м ; d_2-8 = h/3 м = = 5/3 м.

d_1-8 = sin α = d_2-8 /d_1-8 = 0.316 ; cos α = d_1-2 /d_1-8 = 0.949.

Проведем сечение 1-1(рис. 20).

Рассмотрим равновесие узла 1(рис. 21).Запишем уравнения равновесия:

ΣF_kX = U_1-2 + O_1-8 ·cos α = 0

ΣF_kY= O_1-8· sin α + R_A = 0

Из этих уравнений следует: O_1-8 = – R_A / sin α = – 100/0.316 = – 316.456 kH

U_1-2 = – O_1-8 · cos α = – (– 316.456) ·0.949 = 300.317 kH

Спроецируем силы, действующие на узел 1, на ось Y₁, перпендикулярную усилию в стержне 1-8 : Σ Y₁ = R_A cos α – U_1-2 sin α = 0,

откуда (cos α/ sin α = ctg α = d/h₁ = 3)

U_1-2 = R_A ctg α = 100·3 = 300 kH.

В последнем случае в уравнение равновесия входила только одна неизвестная величина U_1-2 что уменьшает возможность ошибки, связанной с определением другого неизвестного усилия O_1-8

Вырежем узел 2 и рассмотрим его равновесие (рис.22).

ΣF_kX = U_2-3 – U _2-1 = 0,

но усилие

U _2-1 = U _1-2 , следовательно U_2-3 = 300 kH;

ΣF_kY= V_2-8 – P₂ = 0; V_2-8 = P₂ = 30 kH.

Точка пересечения осей двух стержней, относительно которой составляется уравнение моментов, называется моментной.

Рассечем ферму по линии 2-2 (см. рис. 20).

Из точки 1 восстановим перпендикуляр к линии действия усилия D_8-3

Тогда:

r = 2d· sin α = 2·5·0.316 = 3.160 м.

Точки 1, 2-моментные. Составим относительно этих точек уравнения моментов:

Σm₁(F_k) = – D_8-3 ·r – (P₁ + P₂)·d = 0;

D_8-3 = – (P₁ + P₂)·d/r = – (10+30)·5/3.162 = – 63.291кH.

Точка 8 – так же моментная

Σm₈(F_k) = – R_A· d + U_2-3 ·h₁ =0; U_2-3 = R_A ·d /h₁

U_2-3 = 100 · 5 /(5:3) =300 кH, что подтверждает правильность полученного выше решения.

Для определения усилия в стержне 1-8 рассмотрим моментную точку 2:

– O_1-8 · r₁ – R_A·d = 0 ; O_1-8 = – R_A· d / r₁; r₁= h/3 · cos α ; cos α = 0.949,

O_1-8 = – R_A·d / r₁ = – 100·5/1.582 = – 316.056 кH.

Проведем сечение 3-3 (рис. 20). Из треугольника 3-9-4 следует:

d_9-4 = (d_3-4 = 5м ; d_3-9 = (2/3)·5 = 10/3 м ) sinγ = d_3-9 / d _9-4 ;

sinγ = r₁ / 3d = 3/333/6.009 = 0.555 ; r₂= 3·5·0.555 = 8.325м; r₃ = 3d· sin α= 4.74 м

Точки 1, 4, 9-моментные. Составим относительно этих точек уравнения моментов:

Точка 1.

Σm₁(F_k) = – D_9-4 · r₂ – (P₁ + P₂)·2d – (P₁ + P₂)· d = 0;

D_9-4 = – (P₁ + P₂)·2d – (P₁ + P₂)· d / r₂ ; D_9-4 = – [(10 + 30)·2·5+ (10+ 30)· 5]/8.325;

D_9-4 = – 72.072 кH.

Точка 9.

Σm₉(F_k) = – R_A·2d + U_3-4 · h₂ +( P₁ + P₂ )·d =0;

h₂ = 10/3м ; U_3-4 =[ R_A· 2d – ( P₁ + P₂ )·d]/ h₂ = [100·2·5 – (10+30)·5]/10/3;

U_3-4 = 240 кH.

Точка 4.

Σm₄(F_k) = – O_9-10· r₃ – R_A · 3 d + (P_{1 +} P₂ ) ·2d + (P_{1 +} P₂ ) ·d = 0;

O_9-10 = – 3d (R_A – P₁ – P₂ )/ r₃ = – 3·5·(100 – 30 – 10) / 4.74 = – 189.873 кH;

O_9-10 ≈ – 190 кH,

Рассмотрим равновесие узла 3 (рис. 25).

ΣF_kY= V_3-9 – P₂ + D_3-8 sin α =0; V_3-9 = P₂ – D_3-8 sin α = 30 – (–63.251·0.316) ;

V_3-9= 49.987 ≈ 50 kH.

Недостатком последнего способа определения усилия V_3-9 является наличие в уравнении найденного ранее усилия D_3-8 , и если оно найдено неверно, то и усилие V_3-9 также будет ошибочным. Точка 1 для усилия V_3-9 является моментной (рис. 26). Составим относительно этой точки уравнения моментов:

Σm₄F_k) = – (P_{1 +} P₂ ) · а – P₂ · 2 а + V_3-9 · 2 а , = 0,

V_3-9 = (P₁ + 3 P₂ )/2 = (10 + 3·30)/2 = 50 kH.

Усилия в оставшихся стержнях фермы равны усилиям в стержнях, семмитричным соответствующим.

Усилие в стержне 4-10 определится из уравнения равновесия узла 4.