Определение внутренних усилий

Проведем сечение 1-1 и рассмотрим равновесие левой отброшенной части (Рис.13). Действие отброшенной части заменяем плоской системой распределенных по сечению сил. Эти силы, как и в случае жесткой заделки, представляют одной приложенной в центре сечения силой с двумя неизвестными составляющими X₁₁ , Y₁₁ и парой с неизвестным моментом М₁₁.

ΣF_kX = R_AX + X _1-1 = 0

ΣF_kY = R_AY – q·0.8 + Y _1-1= 0;

Σ M₀(F_k) = – R_AY * 1.6 – M + (q·0.8) · 0.8/2 + M _1-1 = 0

Таким образом, на левую часть балки в сечении 1-1 действуют:

1) продольная сила X _1-1 = – R_AX = – 18.9 kH, вызывающая в данном случае сжатие балки (знак «минус» указывает на то, что X₁₁ направлена влево)

2) поперечная сила Y _1-1 = – R_AY +q·0.8 = – (– 12.3) + 2·0.8 = 13.9 kH, стремящаяся сдвинуть примыкающую к сечению часть балки вдоль линии1-1.

3)пара с моментом M _1-1 = R_AY · 1.6 + M – (q·0.8) · 0.8/2 = – 9.22 kHм , называемым изгибающим моментом, которая в данном случае вызывает растяжение верхних. волокон балки и сжатие нижних.( знак «минус» указывает на то, что момент M _1-1 направлен в противоположную сторону – по ходу часовой стрелки).

Пример 2. Жестко заделанная балка (рис. 14).

Дано: АВ=1,1м ; ВС =0,9м ; СД=1,6 м ;

М=13 кНм;

Определить реакции опоры и внутренние усилия, действующие в сечении 1-1.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие балки АВСД, которую приняли за объект равновесия (рис. 14)

2. Приложим в точках Д и В действующие на балку сосредоточенные внешние силы: и , момент пары сил М, а равномерно распределенную на участке СД нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой (рис. 15):

Сила приложена посредине участка распределения нагрузки интенсивностью в сторону, куда показывают стрелки нагрузки.

3. Мысленно отбросив жесткую заделку в точке А, заменим ее действие на балку АВСД двумя составляющими реакции X_A, Y_A и реактивным моментом М_А. При составлении уравнений все три неизвестные величины направляем в положительные стороны: X_A и Y_A – по осям координат X и У, а М_А – против часовой стрелки.

4. Для полученной на рис.15 произвольной плоской системы сил запишем условия равновесия

Применяя эту форму, желательно составлять уравнение моментов сил относительно точки, в которой наложена связь в виде жесткой заделки, что упрощает дальнейший процесс решения задачи.

5.Составляя уравнения равновесия на основании условий равновесия и рис.15, подучим

Решая уравнения системы относительно неизвестных, имеем

Знак «минус» говорит о том, что все три реакции X_A, Y_A и М_А направлены в противоположные стороны.

Для проверки правильности решения составим уравнение моментов сил относительно точки Н, расположенной на перпендикуляре к балке, проведенном в точке В, на расстоянии 1м вверх от балки (рис.15):

Составим уравнение проверки:

Необходимо помнить, что в уравнение проверки значения X_A, Y_A и М_А подставляются со своими знаками:

– 28.88 + ( – 2.828) ·1 – (– 1.828) · 1.1 + 4 · 1.7 + 13 + 4 · cos(45⁰) · 1 +

+4 · sin(45⁰) · 2.5 = 0.002≈ 0

Вычисление неизвестных величин производилось с точностью до 0,001.Результат подстановки в уравнение проверки показал, что в пределах указанной точности X_A, Y_A, М_А найдены верно.