Построение матрицы жесткости пластинки прямоугольной формы

Аппроксимирующая функция прогибов элемента W(х,у) должна:

1) удовлетворять дифференциальному уравнению Софи Жермен, которое в случае нагрузки по контуру элемента является однородным:

- цилиндрическая жесткость при изгибе;

2) содержать 3п неопределенных параметров, если п – число узлов элемента, и в каждом узле рассматриваются 3 перемещения: W – прогиб, углы поворота и .

Для прямоугольного элемента с узлами в вершинах, указанным требованиям удовлетворяет функция:

В общем виде эта функция имеет вид:

, (27)

где р = 3п =12 неопределенных параметров .

Выражение преобразуем так, чтобы аппроксимирующая функция W(х,у) содержала р обобщенных координат q_j – прогибов и углов поворота элемента.

Положительные направления и нумерация обобщенных координат показаны на рис.38

Рис.38

В результате преобразования:

(28)

Функция N_j(x,y) показывает распределение прогибов, вызванных в элементе узловым перемещением q_j = 1, при условии, что все остальные узловые перемещения отсутствуют (рис.39).

Рис.39

Функции N_j(x,y) должны удовлетворять следующей единичной матрице:

, (29)

где

Координаты х, у отчитываются от первого узла.

Функции N_j(x,y) можно назвать координатными функциями элемента; их выражения будем искать в виде комбинации функций полинома (27).

(30)

Подчиняя (30) условиям единичной матрицы (29) получаем систему уравнений для определения и, следовательно, функций (30).

Функции N_j(x,y) для прямоугольного элемента определяются выражениями ( ).

Аналогично определяются координатные функции для элементов в форме трапеции и треугольника.

Матрица жесткости элемента пластины формируется следующим образом.

Подставим аппроксимирующую функцию (28) в выражение потенциальной энергии изогнутой пластины:

Двойной интеграл берется по нейтральной поверхности.

Сравним полученное выражение с квадратной формой:

Коэффициенты жесткости, стоящие перед произведениями можно представить в виде:

где (оператор Лапласа); интегрирование ведется по площади (срединной плоскости) элемента.

Коэффициенты: образуют искомую матрицу жесткости элемента s, порядка р:

. (31)

Представим матрицу (31) как блочную.

Рассмотрим запись:

(32)

Компонентами вектора (32) – по смыслу матрицы жесткости – являются силы, действующие на элемент S со стороны его узлов и вызванные именно перемещениями этих узлов.

Пусть в элементе S имеются узлы i, l,…,n. Прогибу и двум угловым перемещениям каждого узла и отвечающим им силам поставим в соответствие индексы направлений 1, 2, 3 (рис.40).

EMBED Word.Picture.8

Рис.40

Перемещения узла i образуют вектор из трех компонент, которые вызывают действие со стороны узла i на элемент S одной силы и двух моментов, образующих вектор (34):

(33)

. (34)

Если теперь в выражении (32) оба вектора, связанных матрицей жесткости, записать через компоненты-векторы вида (33) и (34) для всех узлов элемента, то получим:

(35)

Это определяет блочную структуру и обозначения подматриц матрицы жесткости элемента:

(36)

В (36) типовой блок является квадратной подматрицей вида:

(37)

где - реакция (для элемента S) в узле i по направлению α на единичное перемещение узла l по направлению β.

Матрица жесткости системы элементов формируется посредством известных матриц жесткости всех элементов, образующих расчетную модель заданной конструкции.

Пусть система всех элементов имеет N узлов, перемещения которых характеризуются вектором:

(38)

Для всей системы вектор суммарных узловых усилий, действующих со стороны узлов на сходящиеся в них элементы и вызванных перемещениями узлов:

(39)

Компоненты вектора (39) имеют вид:

(40)

где означает суммирование по всем элементам S, содержащим узел i.

В соотношении векторов:

(41)

матрица жесткости системы элементов показывает, с какими усилиями узлы всей системы действуют на ее элементы при единичных перемещениях всех узлов по всем направлениям.

Из известной структуры блочных векторов (38), (39) и блочных матриц (36) следует структура матрицы [r].

На основании (35) и (36) можно записать:

(42)

По смыслу (37) следует что:

(43)

если узел t не принадлежит элементу S.

Тогда строку (42) можно дополнить до единообразной формы записи:

Суммируя согласно (40), находим i-ую строку соотношения (41):

(44)

Заменяем в строке (44) символ на эквивалентный ввиду (43) символ означающий суммирование по всем элементам, содержащим узлы i, t.

Записывая далее выражение типа (44), с символами для всех векторов узловых сил, получаем развернутые по векторам строки соотношения (41).

Коэффициенты – квадратные подматрицы

образуют матрицу жесткости всей системы:

.