Моделирование массивных конструкций

При проектировании различных механизмов и машин, инженерных сооружений часто возникает необходимость оценить напряженно-деформированное состояние массивных частей этих конструкций. Достаточно полную информацию о распределении напряжений и перемещений в таких телах можно получить, используя численные методы. Метод конечных элементов позволяет выявить особенности распределения силовых потоков и деформаций в деталях, имеющих сложные конфигурации, препятствующие применению аналитических методов.

При построении модели используется конечный элемент в виде пирамиды с треугольным основанием. В качестве узлов i, j, k, m приняты его вершины (рис.59).

Перемещения вдоль осей x,y,z распределяются по линейному закону:

(48)

Рис. 59. Конечный элемент в форме тетраэдра и его узловые степени свободы

В аппроксимирующем полиноме 12 независимых коэффициентов, соответствующих трем степеням свободы в каждом узле.

Для построения матрицы жесткости необходимо аппроксимацию полиномами (48) получить в явном виде, связав коэффициенты полиномов со степенями свободы. Считаем, что перемещения u вдоль оси x зависят только от перемещений ; перемещения вдоль оси y зависят только от и т.д. (локальные номера узлов 1‑4 соответствуют глобальным номерам узлов i, j, k, m). Если в полиномы (48) подставить координаты узла i, то u = u_i и т.д., т.е:

.

Из этого выражения можно найти коэффициенты аппроксимаций:

Аппроксимация перемещений u(x,y,z) вдоль оси x в явном виде примет вид:

где:

Значения и т.д. определяются с помощью круговой перестановки узловых индексов. Выражения для v(x,y,z) и w(x,y,z) полностью аналогичны выражению для u(x,y,z).

Используя основные соотношения теории упругости можно вычислить компоненты матрицы жесткости, например, для коэффициента

,

где – объем тетраэдра.

Перед проведением вычислений создается расчетная модель, отбрасыванием несущественных деталей исследуемой конструкции и назначением для каждого элемента конструкции соответствующих характеристик. На основе этой модели формируются массивы координат узлов, расположенных в вершинах объемных элементов и матрица связей, в которую включаются номера узлов, принадлежащих данному конечному элементу. Задаются узловые нагрузки и граничные условия. В качестве примера моделируется защемленный одним своим крайним поперечным сечением брус и нагруженный двумя силами в плоскости свободного сечения (рис.60).

Рис. 60. Пример расчета

В данном примере для упрощения подготовки данных вначале исследуемая конструкция разбивается на прямоугольные параллелепипеды, а затем каждый такой объемный элемент программно представляется в виде совокупности тетраэдральных конечных элемента (рис.61).

Рис. 61. Схема разбиения четырехгранной призмы на тетраэдры

Для каждого тетраэдра записывается матрица связей и формируется массив узловых координат. При формировании матрицы связей принят следующий порядок обхода узлов: если смотреть со стороны последнего узла, то остальные узлы нумеруются против хода часовой стрелки. При формировании конечно-элементной модели необходимо стремиться к такой форме конечных элементов, чтобы длины его ребер не отличались друг от друга более, чем в пять раз. Описанный процесс формирования исходных данных производится на предварительном этапе, который выполняет программа brus_d.f. На первом шаге по сформированным матрицам связей и координат узлов вычисляются матрицы жесткости и записываются в отдельный файл для дальнейших расчетов. Этот шаг выполняется программой s1.f . Для выполнения первого шага необходимо задать в файле DT1 количество элементов и узлов, механические характеристики материала элементов. На следующем шаге формируется глобальная матрица жесткости расчетной модели с учетом заданных граничных условий (программа S2.f). Граничные условия, нагрузки и размер формируемой фазы системы уравнений вводятся в файле DT2. Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений проводится программой S3.f. Полученный массив узловых перемещений, позволяет затем вычислить напряжения в каждом конечном элементе (программа S4.f). На основании полученной информации можно сделать вывод о напряженно-деформи­рован­ном состоянии исследуемой конструкции и, при недостаточной прочности, изменить геометрические размеры или механические характеристики материала, проведя описанный расчет вновь. В рассмотренной модели последний узел нагружен двумя силами по 100 Н, узлы 1, 2,3, 4 лишены всех степеней свободы. Материал элементов модели имеет следующие механические характеристики: .

В приложении 4 представлены тексты программ этапов моделирования массивных конструкций.

Для рассматриваемого примера необходимые данные задаются в файлах:

DT0

44,132,10,60,4,2

0.,0.,0.

0.1,0.,0.

0.1,0.1,0.

0.,0.1,0.

0.,0.,0.25

0.1,0.,0.25

0.1,0.1,0.25

0.,0.1,0.25

0.,0.,0.5

0.1,0.,0.5

0.1,0.1,0.5

0.,0.1,0.5

0.,0.,0.75

0.1,0.,0.75

0.1,0.1,0.75

0.,0.1,0.75

0.,0.,1.00

0.1,0.,1.00

0.1,0.1,1.00

0.,0.1,1.00

0.,0.,1.25

0.1,0.,1.25

0.1,0.1,1.25

0.,0.1,1.25

0.,0.,1.50

0.1,0.,1.50

0.1,0.1,1.50

0.,0.1,1.50

0.,0.,1.75

0.1,0.,1.75

0.1,0.1,1.75

0.,0.1,1.75

0.,0.,2.00

0.1,0.,2.00

0.1,0.1,2.00

0.,0.1,2.00

0.,0.,2.25

0.1,0.,2.25

0.1,0.1,2.25

0.,0.1,2.25

0.,0.,2.50

0.1,0.,2.50

0.1,0.1,2.50

0.,0.1,2.50

1,2,3,4,5,6,7,8

5,6,7,8,9,10,11,12

9,10,11,12,13,14,15,16

13,14,15,16,17,18,19,20

17,18,19,20,21,22,23,24

21,22,23,24,25,26,27,28

25,26,27,28,29,30,31,32

29,30,31,32,33,34,35,36

33,34,35,36,37,38,39,40

37,38,39,40,41,42,43,44

1,111

2,111

3,111

4,111

130,100.

131,100

DT1

60,44,2.e+11,0.3

DT2

60,44,132,4,18,50,51,1

DT3

2000000. 800000. 0.3 0.5

В результате выполнения первого шага на печать выводятся матрицы связей и координат узлов конечных элементов, а также ширина ленты формируемой системы разрешающих уравнений.

Формирование глобальной матрицы жесткости ансамбля конечных элементов завершается выводом на печать вектора узловой нагрузки и числа уравнений, входящих в последнюю фазу.

Вычисленные на третьем шаге узловые перемещения выводятся на печать построчно: первая цифра соответствует глобальному номеру узла, далее следуют значения перемещений в порядке принятой нумерации узловых степеней свободы.

Напряжения в каждом элементе подсчитываются на последнем этапе и выводятся на печать.