Соотношения метода конечных элементов в задачах динамики

Если нагрузки быстро изменяются во времени, то возникающие при деформации тела инерционные силы могут играть существенную роль, и их необходимо учитывать. Матричное уравнение для случая динамического нагружения можно получить, если к внешним силам добавить инерционные . Тогда, заменяя их эквивалентными узловыми силами P_ин, получим равенство . В последнем равенстве узловые силы инерции можно записать в виде . Здесь через M обозначена квадратная симметричная матрица

,

называемая матрицей инертности конструкции. Матричное уравнение движения конструкции, идеализированное по методу конечных элементов получает вид .

Расчет динамического поведения конструкции заключается в определении перемещений и напряжений как функций времени. В качестве предварительного этапа динамический расчет может содержать исследование собственных колебаний, в результате чего определяются частоты и формы собственных колебаний конструкции.

Собственные колебания конструкции совершаются при отсутствии внешних сил, тогда уравнение движения принимает вид

, (1)

решение, которого можно искать в виде

, (2)

где  – круговая частота колебаний, а матрица-столбец {W} содержит амплитудные значения перемещений и называется формой колебаний. Конструкция может совершать колебания с различными частотами; каждой частоте _i соответствует определенная форма {W_i}. Задача расчета собственных колебаний заключается в отыскании всех или нескольких (обычно наименьших) частот и соответствующих им форм колебаний. Подставив (2) в (1), придем к уравнению

(3)

Это равенство можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно элементов матрицы [W]. Однородная система линейных алгебраических уравнений может иметь нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю:

(4)

Значения [W], удовлетворяющие условию (4), представляют собой частоты собственных колебаний системы. Каждой собственной частоте _i соответствует нетривиальное решение {W_i} системы уравнений

(5)

Уравнение (3) можно привести к виду

, (6)

в котором: – симметричная положительно определенная матрица. Решается указанная неполная проблема собственных значений при помощи обратного степенного метода.

Матрица инертности треугольного конечного элемента

Для получения сетки конечных элементов оболочечных конструкций используется наиболее простой пластинчатый элемент в форме произвольного треугольника с узлами в углах (рис. 29).

Рис. 29. Треугольный конечный элемент изгибаемой пластины

Матрица инертности такого элемента строится на основе функций формы, использовавшихся при построении матрицы жесткости. Таким образом, обеспечивается согласованность матриц инертности и жесткости.

Изгибное состояние треугольного элемента описывается путем аппроксимации функции прогибов W соответствующим полиномом третьей степени от безразмерных L-координат /1/. Функции формы элемента для первого узла i имеют в этом случае вид:

(7)

где: .

Функции формы для узлов j и k получаются циклической перестановкой индексов 123.

Матрица инертности пластинчатого элемента произвольной формы строится на основе общего выражения /1/ для ее компонентов

(8)

где: e – порядковый номер элемента в ансамбле; V – объем элемента.

Интегралы от функций, выраженных в L-координатах (7), вычисляется точно на основе приведенного в /2/ соотношения

(9)

где S – площадь треугольного конечного элемента.

Компоненты, вычисленные согласно выражениям (8) и (9), располагаются в соответствии с принятым порядком локальной нумерации узловых перемещений элемента и образуют его матрицу инертности. Так, компоненты верх­ней треугольной матрицы, которые соответствуют узловым перемещениям элемента, представляются – с учетом обозначения – формулами:

;

Аналогичные компоненты локальной матрицы инертности для мембранного состояния получаются в соответствии с работой [1]. В соответствии с принятым порядком нумерации глобальных степеней свободы узла изгибные [M_u] и мембранные [M_м] составляющие располагаются в местах, предусмотренных – с учетом суперпозиции – блочной структурой полной матрицы инертности.