8.4. Гидравлические элементы потока

К гидравлическим элементам потока относятся:

1. Живое сечение.

2. Скорости.

3. Расход.

4. Смоченный периметр.

5. Гидравлический радиус.

Живым сечением потока называется поверхность, которая нормальна в каждой своей точке к соответствующей линии тока. В гидравлике обычно за живое сечение принимают часть плоскости, ограниченную руслом, нормальную к направлению средней скорости потока. Площадь живого сечения обозначается через ω, для элементарной струйки – dω.

Скорости в различных точках живого сечения потока неодинаковы. Скорость в какой-либо точке потока называется местной или локальной скоростью. Если она определена в некоторый момент времени, то она называется мгновенной, а если представляет собой среднее значение из нескольких мгновенных скоростей, то она называется осредненной (по времени) местной скоростью U.

Для потока вводится понятие так называемой средней скорости V.

Средняя скорость в данном живом сечении потока есть такая одинаковая во всех его точках фиктивная скорость, с которой должны были бы двигаться все частицы, чтобы количество жидкости, протекающее через живое сечение, было равно количеству жидкости, протекающему через это же сечение при действительных скоростях.

Указанных обозначений скоростей: местной U и средней V будем придерживаться при дальнейшем изложении курса.

Расходом потока называют количество жидкости, протекающее через данное живое сечение в одну секунду. Это количество жидкости можно измерить в единицах объема, веса или массы, в связи с чем различают расходы объемный Q, весовой Q_в и массовый Q_m.

Для элементарной струйки объемный расход dQ будет равен объему цилиндра высотой U и площадью основания dω:

dQ = Udω (м³/c) ,

гдеU – скорость в живом сечении струйки;

dω – площадь сечения струйки.

Весовой расход:

dQ_в = γdQ (кг/с) (н/с)

Массовый расход:

dQ_m = ρdQ (кг·с/м) (кг/с)

В практических расчетах наиболее часто употребляется объемный расход Q.

Расход для целого потока равен сумме элементарных расходов по всему живому сечению:

Q^o = .

В этом выражении скорости U_i меняются в плоскости живого сечения: у границ потока она меньше и больше вдали от них. Поэтому вместо различных скоростей по сечению вводят среднюю скорость V и формула примет вид:

Q = Vω.

На практике обычно расход определяется экспериментально, а из выражения находится средняя скорость потока в данном сечении:

.

Смоченным периметром называется длина линии, с ограничивающими ее твердыми стенками. Свободная поверхность в смоченный периметр не входит. Обозначается он буквой  (м).

Примером смоченного периметра может служить длина окружности полностью заполненного трубопровода.

Гидравлический радиус представляет собой отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру:

.

Для трубопроводов круглого сечения (полностью заполненных) имеем:

ω = πr² ;  = 2πr ;

R = ; ,

где d – внутренний диаметр трубопровода.

8.5. Уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности)

Прежде всего уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности) можно получить для элементарной струйки на основании свойств струйки и жидкости. Движение рассматривается установившееся. Выделим в потоке жидкости элементарную струйку с произвольным сечением 1-1, 2-2, 3-3 (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Схема потока жидкости

Площади сечений струйки и скорости в них соответственно обозначим dω₁ и U₁; dω₂ и U₂; dω₃ и U₃. За время dt через сечение струйки dω, в отсек 1-2 втечет следующее количество жидкости:

U₁dω₁dt .

За тоже время из отсека 1-2 вытечет через сечение dω₂ количество жидкости:

U₂dω₂dt .

Поскольку жидкость несжимаема, а форма элементарной струйки не изменяется по времени и стенки ее непроницаемы (жидкость не может втекать и вытекать через боковые поверхности), то можно записать, что количество жидкости, втекшее в отсек 1-2 и вытекшее из него, равно:

U₁dω₁dt = U₂dω₂dt ,

или в единицу времени это будет:

U₁dω₁ = U₂dω₂ .

Имея в виду, что Udω = dQ и, что сечения по длине струйки взяты произвольно, можно написать:

U₁dω₁ = U₂dω₂ = . . . . . . .= U_ndω_n = dQ = const .

Это выражение является уравнением постоянства расхода или уравнением неразрывности для элементарной струйки. Его можно сформулировать следующим образом: через все сечения элементарной струйки протекает одно и то же количество жидкости. Другими словами, расход по длине струйки есть величина постоянная.

Аналогичное уравнение можно составить и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, интегрируя уравнение для струйки по всей площади живого сечения потока:

.

Это соотношение можно проинтегрировать, введя средние скорости движения жидкости, тогда получим:

V₁ω₁ = V₂ω₂ .

Сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, следовательно, можно последнее уравнение написать для всех сечений потока:

V₁ω₁ = V₂ω₂ = . . . = V_nω_n = Q = const .

Это выражение является уравнением постоянства расхода или неразрывности для всего потока жидкости. Оно показывает, что при движении жидкости могут меняться сечения ω и средние скорости V, а расход вдоль потока остается постоянным. Уравнение постоянства расхода является математическим выражением условий сплошности течения при установившемся движении.

Из уравнения можно написать соотношение между средними скоростями и живыми сечениями потока:

.

Итак, между V и ω существует обратно-пропорциональная зависимость.

Резюме: При рассмотрении данной темы был использован метод Лагранжа. Изучены виды движения жидкости (установившееся и неравномерное движения, напорное и безнапорное). Даны важные определения геометрическим элементам потока.

Вопросы для самоконтроля:

1. Опишите два метода исследования движения жидкости в гидродинамике

2. Стационарное и нестационарное движения жидкости. Приведите примеры.

3. Неравномерное и равномерное движения жидкости. Приведите примеры.

4. Напорное и безнапорное движения жидкости. Приведите примеры.

5. Что такое линии тока и траектория при струйчатом движении жидкостей.

6. Что такое элементарная струйка и какими свойствами она обладает.

7. Назовите основные гидравлические элементы потока.

8. Уравнение постоянства расхода для всего потока жидкости. Поясните его смысл.