4.2. Свободная поверхность покоящейся тяжелой жидкости (при абсолютном покое)

Тяжелая жидкость - жидкость, к которой приложены в качестве массовых сил только силы тяжести.

Рис. 4.1. К вопросу свободной поверхности

при абсолютном покое тяжелой жидкости

Тяжелая жидкость находится под действием только силы тяжести, т.е. в состоянии абсолютного покоя (рис. 4.1). Для данного случая проекции массовых сил в уравнении:

X*dx + Y*dy + Z*dz = 0,

можно записать так:

Х = 0, Y= 0, Z = 1*g ,

т.е. единичная масса такой жидкости находится в рав­новесии только под действием силы тяжести.

Дифференциальное уравнение свободной поверхнос­ти будет иметь следующий вид:

1 * g * dz = 0.

Интегрируя это уравнение, получим z = const. Это уравнение плоскости, параллельной горизонталь­ной плоскости ху.

Отсюда можно сделать вывод, что свободная поверх­ность жидкости, находящейся только под действием силы тяжести, есть горизонтальная плоскость.

4.3. Свободная поверхность при равноускоренном прямолинейном движении жидкости в сосуде (при относительном покое)

Определим положение свободной поверхности бензина в вагоне-цистерне, который движется равноус­коренно с горизонтальным ускорением I_х (рис. 4.2).

Рис. 4.2. К вопросу свободной поверхности жидкости при равноускоренном прямолинейном движении жидкости

Выберем подвижную систему координат с началом в точке О пересечения свободной поверхности бензина с передней стенкой вагона-цистерны.

Единичная масса бензина в данном случае находится под действием силы тяжести (1*g) и силы инерции от горизонтального перемещения (1*I_х).

Составляющие массовых сил в уравнении равновесия:

Х * dx + Y*dy +Z*dz =0

получают следующие значения:

Х = -I_x ; Y = 0 ; Z = g ,

а уравнение поверхности уровня приобретает вид:

-Ix*dx + g*dz = 0 или

dz/dx = I_x/g = const, I_x*x = g*z = const.

Уравнение показывает, что свободная поверх­ность жидкости в цистерне представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом :

= arctg (-I_x/g).

4.4. Свободная поверхность жидкости, равномерно вращающейся (вместе с сосудом) относительно вертикальной оси

Жидкость заключена в сосуде, который вра­щается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (рис. 4.3).

Рис. 4.3. К вопросу свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде.

В этом случае жидкость будет находиться в состоянии относительного покоя и здесь так же применимо уравнение равновесия жидкости:

dP = * (X*dx + Y*dy + Z*dz).

На жидкость действуют две массовые силы: сила тя­жести и центробежная сила.

При вращении сосуда свободная поверхность жидко­сти принимает вид поверхности тела вращения на оси сосуда и постепенным повышением к его стенкам.

За начало координат выберем точку О на свободной поверхности жидкости. На жидкость в сосуде в данном случае будут действовать две силы: сила тяжести (1*g), составляющие которой, отнесенные к единице массы, таковы: Х = 0 ; Y=0 ; Z = - g, и центробежная сила, составляющие которой на соответствующие оси могут быть выражены следующим образом:

X= *x ; Y= *y; Z=0.

Тогда уравнение равновесия:

dP = * (X*dx + Y*dy + Z*dz)

можно написать в следующем виде:

dP = * ( *x*dx + * y * dy- g * dz).

Заменим g и проинтегрируем, тогда получим:

P=

При Р = Р₀ (свободная поверхность):

х = 0; у = 0; z = 0.

Следовательно Р₀ = С. Тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:

P - P₀ =

Это есть уравнение параболоида вращения. Для сво­бодной поверхности, где Р = Р₀ , получим:

, или

z = ,

где r = х² + у² - расстояние любой точки свободной поверх­ности от оси вращения сосуда.

Уравнение показывает, что в любой вертикаль­ной плоскости, проходящей через ось вращения, линия свободной поверхности имеет форму параболы второго порядка. Следовательно, свободная поверхность в рас­сматриваемом случае является параболоидом вращения.

Резюме: В рассмотренной теме даны определения поверхностям равного давления и рассмотрены частные случаи таких поверхностей при абсолютном и относительном покоях.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое поверхности равного давления?

2. Чем отличаются абсолютный покой от относительного? Приведите пример.

3. Запишите основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме для свободной поверхности тяжелой жидкости находящейся в абсолютном покое.

4. Запишите основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме для свободной поверхности тяжелой жидкости в сосуде при прямолинейном равноускоренном движении находящейся в относительном покое.