2. Примеры решения задач на расчет кпд тепловых двигатлей

Задача 2.1. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества , находится под давлением - и занимает объем . Сначала газ изохорно нагревают до температуры . Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определит термический КПД цикла.

Дано:

Решение

Д

Рис. 2.1

ля наглядности построим сначала график цикла, который состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах р,V этот цикл имеет вид, представленный на рис. 2.1. Характерные точки цикла обозначим 1, 2, 3.

Термический КПД любого цикла определяется

выражением

или

(1)

где - количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя; - количество теплоты, отданное газом за цикл охладителю.

Разность количеств теплоты равна работе А, совершаемой газом за цикл. Эта работа на графике в координатах р,V (рис.2.1) изображается площадью цикла (площадь цикла заштрихована).

Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты на двух участках: на участке 1 - 2 (изохорный процесс) и , на участке 2 - 3 (изотермический процесс). Таким образом

.

Количество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, равно

где - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; и количество вещества. Температуру начального состояния газа, воспользовавшись уравнением Клапейрона—Менделеева:

.

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

.

Количество теплоты, полученное газом при изотермическом процессе, равно

,

где - объем, занимаемый газом при температуре и давлении (точка 3 на графике).

На участке 3 - 1 газ отдает количество теплоты , равное

,

где Ср — молярная теплоемкость газа при изобарном процессе.

Подставим найденные значения и в формулу (1):

.

В полученном выражении заменим отношение объемов , согласно закону Гей-Люссака, отношением температур и выразим и через число степеней свободы молекулы . Тогда после сокращения на и получим

.

Подставив значения и , и произведя вычисления, найдем

 = 0,041 =4 ,1 %

Ответ:  = 4,1 %

Задача 2.2. Температура пара, поступающего в паровую машину, ; температура в конденсаторе . Определить теоретически максимальную работу при затрате количества теплоты .

Дано:

Решение

Д

Рис. 2.2

ля того чтобы работа, совершаемая тепловой машиной (тепловым двигателем), была максимальной, необходимо, чтобы цикл, по которому работает двигатель, был обратимым. При наличии только двух термостатов - нагревателя с температурой и холодильника с температурой - возможен только один обратимый цикл - цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис.2.2.).

Коэффициент полезно действия этого цикла

(1)

КПД любого теплового двигателя

, (2)

где А - полезная работа, совершаемая двигателем, - количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя.

Приравнивая правые части равенств (I) и (2), получим

,

откуда

.

Ответ: А=1,05 кДж.

Задача 2.3. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарного и адиабатного процессов. При изобарном процессе рабочее тело - идеальный газ - нагревается от температуры Т₁ = 200 К до Т₂ = 500 К. Определить коэффициент полезного действия данного теплового двигателя и двигателя, работающего по циклу Карно, происходящему между максимальной и минимальной температурами данного цикла.

Дано:

Решение

В условии задачи неоговорена последовательность процессов, но поскольку изобарный процесс, по условию, - процесс нагревания, следовательно, и расширения, а тепловая машина является тепловым двигателем, то прямая, соответствующая графику этого процесса в координатах р,V, должна лежать выше кривых, изображающих изотермический и адиабатный процессы. После изобарного расширения 1- 2 (рис. 2.3) газ должен а диабатно расширяться (кривая 2-3) до тех пор, пока температура станет равной , а затем изотермическим сжатием (кривая 3-1) газ можно вернуть в исходное состояние. (Легко убедиться, что при любой другой последовательности процессов не будет выполняться условие з

Рис. 2.3

адачи.)

При последовательности процессов, изображенной на рис. 2.3 газ получает теплоту только в процессе 1-2, поэтому , и отдает теплоту в процессе 3-1 ( ). Процесс 2-3 происходит без теплообмена. Тогда коэффициент полезного действия цикла, согласно определению,

. (1)

Газ идеальный, все процессы предполагаются обратимыми (фактически это предположение было сделано уже при изображении процессов на графике). Тогда и могут быть выражены по известным формулам для изобарного и изотермического процессов.

Коэффициент полезного действия цикла Карно найдем по известным формулам, так как из проведенного анализа очевидно, что .

Количество теплоты, получаемое рабочим телом при изобарном процессе,

, (2)

где - молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Количество теплоты, отдаваемое рабочим телом при изотермическом сжатии,

, (3)

Для процесса 3-1 количество теплоты пропорционально . Поскольку , логарифм будет отрицательным, поэтому в выражении для стоит .

Объемы газа и их отношения неизвестны, однако состояния I и 2 лежат на одной изобаре и

. (4)

Состояния 2 и 3 лежат на одной адиабате:

. (5)

Учитывая, что , и извлекая корень степени , получаем

(6)

Перемножая почленно равенства (4) и (6), имеем

.

Тогда

.

. (7)

Подставим выражения (2) и (7) в (1):

.

Коэффициент полезного действия цикла Карно между максимальной и минимальной температурами

Ответ: =0,39

Задача 2.4. В цикле Отто газовых и карбюраторных двигателей внутреннего сгорания теплота подводится и отводится при постоянных объемах (рис. 2.4). Особенностью таких двигателей является то, что в них сжимается рабочая смесь, приготовленная вне цилиндров:

0—1 - всасывание рабочей смеси (горячий газ - воздух либо пары легкого топлива - воздух);

/—2 - адиабатическое сжатие рабочей смеси.

В конце сжатия происходит зажигание горючей смеси от электрической искры;

2—3 - быстрое возрастание давления продуктов сгорания (практически при постоянном объеме) и их температуры;

3—4 - адиабатическое расширение продуктов сгорания (рабочий ход поршня). В конце расширения открывается выпускной клапан, происходит падение давления в цилиндре (ветвь 4-1) при постоянном объеме;

1—0 - выталкивание поршнем продуктов сгорания.

О тношение

называется степенью адиабатического сжатия.

Рис. 2.4

Определить КПД цикла, если показатель степени адиабаты равен .

Дано:

Решение

КПД цикла

(1)

Подводимая теплота соответствует ветви 2-3 ( ), тогда

, (2)

где - число молей, - молярная теплоемкость рабочей смеси.

Аналогично

. (3)

Тогда разделив (3) на (2), получим

(4)

Так как ветви 3-4 и 1-2 – адиабаты, то

(5)

и

(6)

Из (5) и (6), следует, что

(7)

(8)

Подставив (7) и (8) в (4), получим сначала

(9)

а затем выражение для КПД цикла

(10)

Ответ:

Задача 2.5. Карбюраторный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу, состоящему из двух адиабат и двух изохор. Рассчитать КПД двигателя при следующих значениях температур: , , , .

Дано:

Решение

где

Ответ: = 0,38.

Задача 2.6. Цикл четырехтактного двигателя Дизеля изображен на рисунке 2.6 а) ветвь АВ – в цилиндры засасывается воздух(Р₀=1ат) б) ветвь ВС – воздух адиабатически сжимается д о давления Р₁ в) в конце такта сжатия в цилиндры впрыскивается топливо, которое воспламеняется в горячем воздухе и сгорает, при этом поршень движется вправо сначала изобарически (ветвь CD), а затем адиабатически (ветвь DE). г) в конце адиабатического расширения открывается выпускной клапан, давление падает до Р₀ (ветвь EB). д) при движении поршня влево смесь удаляется из цилиндров (ветвь ВА). Найти КПД двигателя Дизеля.

Дано: T0, T1, T2, T3

Решение

Работа, совершаемая при полном цикле:

A=Q₁-Q₂ (1)

где Q₁ – количество тепла, выделившееся при сгорании топлива, Q₂ – количество теплоты, отданное среде (на ЕВ). Т.к. CD – изобара, то:

(2)

где Т1 – температура в начале изобар. расширения, а Т2 – в конце.

Т.к. ЕВ – изохора, то:

(3)

где Т3 – температура в начале изохор. процесса, а Т0 – в конце.

Следовательно:

(4)

Выразим С_р через C_v

(5)

Подставив (5) в (4) получим:

(6)

Для КПД имеем:

(7)

Ответ:

З адача 2.7. Дизельный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу, состоящему из 2 адиабат, изобары и изохоры (рис 2.7). Рассчитать КПД такого двигателя, если отношение удельных теплоемкостей , а температуры газа имеют значения: T₁=310 K, T₂=760 K, T₃=1210K, T₄=610K.

Дано: T1=310 K T2=760 K T3=1210 K T4=610 K

Решение

1-2 адиабатный процесс Q₁₂=0

2-3 изобарный процесс

3-4 адиабатный процесс Q₃₄=0

4-1 изохорный процесс

,

тогда

Ответ:  = 0,52

Задача 2.8. Цикл газотурбинной установки при постоянном давлении (рис 2.8) состоит: из адиабаты 1-2 (сжатие воздуха в компрессоре перед подачей его в камеру сгорания), адиабаты 3-4 (расширение продуктов сгорания в соплах турб ины, при этом совершается работа вращения ротора) и изобары 4-1 (охлаждение отработанных газов при атмосферном давлении до температуры окружающей среды). Отношение называется степенью повышения давления. Найти выражение для КПД цикла установки с подводимой теплотой при Р=const. Показатель адиабаты равен , теплоемкости С_Р воздуха и продуктов сгорания считать равными и постоянными.

Дано:

Решение

КПД цикла:

(1)

где тепло, подводимое в ходе изобарического процесса 2-3:

(2)

А тепло, отводимое в ходе изобарического процесса 4-1:

(3)

А т.к. 1-2 адиабата, то

,

откуда

(4)

аналогично для адиабаты 3-4

,

откуда

(5)

Разделив (3) на (2), получим:

(6)

Подставляя (6) в (1), получим:

(7)

Ответ:

Задача 2.9. Образцовый цикл паросиловой установки (цикл Ренкина) представлен на рис 2.9. Нагревание воды в паровом котле до температуры кипения, испарение и перегревание полученного пара происходят при постоянном давлении (изобарное подведение теплоты происходит по ветви 1-2). Далее следует адиабатическое расширение пара в турбине (ветвь 2-3). В конце расширения пар переходит линию насыщения и увлажняется. Отработанный пар сжимается в конденсаторе (изобарное отведение теплоты, ветвь 3-4), а полученный конденсат насосом снова подается в котел (ветвь 4-1). Рассчитать приращение энтропии при 1) нагревании воды в котле 2) при испарении 3) при перегревании пара до 500*С , если р₁=981*10⁴ Па, температура перегретого пара t_пп=500*С, р₃=39*10²Па. Среднюю удельную теплоемкость воды при давлении р₁ принять равной С_р=4620 Дж/кг*К. Скрытая теплота испарения воды при р=p₁ равна r₁=133*10⁴ Дж/кг; при р=р₃ равна r₃=243*10⁴ Дж/кг. Средняя удельная теплоемкость перегретого пара С_р=3420 Дж/кг*К.

Дано: P1=981*104 Па tпара=500*C T3=773K P3=39*102 Па Cрводы=4620 Дж/кг*к При Р=Р1 r1=133*104 Дж/кг при Р=Р3 r3=243*104 Дж/кг С’рп=3420Дж/кг*К m=1 кг

, , - ?

Решение

Из таблиц водяного пара определяем температуры кипения воды при давлениях Р₁ t₁=309,5*C, Т₁=582,5 К; Р₃ t₃=28,6*C, T₃=301,6 K.

Изменение энтропии:

1) при нагревании воды в котле (1)

Подставив численные значения в (1), получим:

(Дж/к)

2) При испарении воды

(2)

Подставив численные значения в (2), найдем

(Дж/К)

3) при перегревании пара до 500*С

(3)

подставив численные значения в (3), получим

(Дж/К)

Ответ: =3041, =2283, =968 Дж/К

Задача 2.10. Идеальная холодильная машина работает как тепловой насос по обратному циклу Карно(рис. 2.10). При этом она берет тепло от воды с температурой 2*С и передает его воздуху с температурой 27*С. Найти 1) коэффициент - отношение количества тепла, переданного воздуху за некоторый промежуток времени, к количеству тепла, отнятому за это же время у воды. 2) коэффиц иент - отношение количества тепла, отнятого у воды, к затраченной на работу машины энергией ( называется холодильным коэффициентом машины), 3) коэффициент - отношение затраченной на работу машины энергии к количеству тепла, переданному за это время воздуху ( - КПД цикла). Найти соотношение м/у коэффициентами

Дано: T1=300 K T2=275 K

Решение

КПД прямого цикла Карно равен

В то же время

Откуда

Далее

.

Отсюда

Тогда

;

;

Ответ: ₁= 1,09 ₂= 11 ₃=0,083