1.2. Принцип действия тепловой и холодильной машин

В сякий двигатель представляет собой систему, совер­шающую многократно некий круговой процесс (цикл). Пусть в ходе цикла рабочее вещество (например, газ) сна­чала расширяется до объема V₂, а затем снова сжи­мается до первоначального объе­ма V₁ (Рис. 1.3) Чтобы работа за цикл была больше нуля, давле­ние (а следовательно, и темпе­ратура) в процессе расширения должно быть больше, чем при сжатии. Для этого рабочему веществу нужно в ходе расширения сообщать теплоту, а в ходе сжатия отнимать от него теплоту.

Совершив цикл, рабочее вещество возвращается в ис­ходное состояние. Поэтому изменение внутренней энергии за цикл равно нулю. Количество теплоты, сообщаемое ра­бочему телу за цикл, равно Q₁- Q'₂, где Q’ – теплота, получаемая рабочим телом при расширении, a Q₂ — теп­лота, отдаваемая при сжатии. Работа А, совершаемая за цикл, равна площади цикла (см.§ 1.1).Таким образом, выражение работы за цикл имеет вид:

A = Q₁-Q'₂. (1.1)

Периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет получаемой извне теплоты, называется тепловой машиной. Как следует из (1.1), не вся получаемая извне теплота Q₁ используется для получения работы. Для того чтобы двигатель работал циклами, часть теплоты, равная Q₂, должна быть возвращена во внеш­нюю среду и, следовательно, не используется по назначе­нию (т. е. для получения работы). Очевидно, что чем полнее превращает тепловая машина получаемую извне теплоту Q’ в работу А, тем эта машина выгоднее. Поэтому тепловую машину принято характеризовать коэффи­циентом полезного действия  (сокращенно КПД), который определяется как отношение совершаемой за цикл работы А к получаемой за цикл теплоте Q₁

V = A/Q₁. (1.2)

Приняв во внимание соотношение (1.1), выражение для КПД можно записать в виде:

(1.3)

Из определения КПД следует, что он не может быть больше единицы.

Если обратить цикл, изображенный на рис. 1.1, по­лучится цикл холодильной машины. Такая ма­шина отбирает за цикл от тела с температурой Т₂ количество теплоты Q₂ и отдает телу с более высокой темпе­ратурой Т₁ количество теплоты Q’₁. Эффективность хо­лодильной машины характеризуется ее холодильным коэффициентом, который определяется как отношение отнятой от охлаждаемого тела теплоты Q₂ к работе А', ко­торая затрачивается на приведение машины в действие:

холодильный коэффициент = (1.4)

1.3. Цикл Карно

Из сказанного в предыдущем параграфе следует, что для работы теплового двигателя необходимо наличие двух тепловых резервуаров. От одного из них, имеющего бо­лее высокую температуру Т₁ и называемого нагревателем, двигатель получает в ходе цикла количество теплоты Q’₁; второму, имеющему более низкую температуру Т₂ и называемому холодильником, двигатель отдает теп­лоту Q'₂.

Допустим, что теплоемкость резервуаров бесконечно велика. Это означает, что получение или отдача резервуа­рами конечного количества теплоты не изменяет их тем­пературы. Выясним, какой обратимый цикл может совер­шать рабочее вещество двигателя в этих условиях. Для краткости рабочее вещество двигателя мы будем называть просто телом.

Рассматриваемый цикл, очевидно, может состоять как из процессов, в ходе которых тело обменивается теплотой с резервуарами, так и из процессов, не сопровождающихся теплообменом с внешней средой, т. е. адиабатических процессов. В предыдущем параграфе мы установили, что единственным обратимым процессом, сопровождающимся теплообменом с резервуаром, температура которого оста­ется неизменной, является изотермический процесс, про­текающий при температуре резервуара.

Т аким образом, мы приходим к выводу, что обрати­мый цикл, совершаемый телом, вступающим в теплооб­мен с двумя тепловыми резервуарами бесконечно большой емкости, может состоять только из двух изотерм (при тем­пературах резервуаров) и двух адиабат. Такой цикл был впервые введен в рассмотрение Сади Карно¹ и носит на­звание цикла Карно. Отметим, что цикл Карно по определению обратимый.

Вид цикла Карно на диаграмме P, V зависит от свойств совершающего цикл вещества. Для идеального газа цикл выглядит как показано на рис. 1.4.

При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа остаётся постоянной. Поэтому количество полученной газом теплоты Q₁ равно работе А₁₂, совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2. Эта работа равна

Q₁=A₁₂= (1.5)

где m – масса идеального груза в машине. Количество отдаваемой холодильнику теплоты Q’₂ равно работе A’₃₄, затрачиваемой на сжатие газа при переводе его состояния 3 в состояние 4. Эта работа равна

Q’₂=A₃₄= (1.6)

Для того чтобы цикл был замкнутым, состояния 1 и 4 должны лежать на одной и той же адиабате. Отсюда получаем условие

. (1.7)

Состояния 2 и 3 удовлетворяют аналогичному условию:

. (1.8)

Делят (1.8) на (1.7), приходим к соотношению

(1.9)

Теперь подставим (1.5) и (1.6) в выражение (1.3) для КПД:

.

Наконец, учтя условие (1.9) , получим выражение

(1.10)

Коэффициент полезного действия (КПД), следовательно, всегда меньше единицы и зависит от соотношения между температурами нагревателя и холодильника.

Цикл Карно, рассмотренный нами, был на всех своих стадиях проведен так, чтобы нигде не было соприкосновения тел с различными температурами, что исключает возможность необратимых процессов теплопроводности. Изменения объёма рабочего тела также производились обратимым путём, что, как мы знаем обеспечивает максимум совершаемой при этом работы. Это значит, что были обеспечены наилучшие условия для использования тепловой энергии. Поэтому более высокий КПД, чем представленный формулой (1.10), получить принципиально нельзя.

Тепловая машина, работающая при данных значениях температуры нагревателя и холодильника, не может иметь к. п. больший, чем машина работающая по обратному циклу Карно при тех же значениях температур нагревателя и холодильника. (Это утверждение называют первой теоремой Карно.)

Из формулы (1.10) видно, что коэффициент полезного действия цикла Карно не зависит от рода рабочего тела, а только от температуры нагревателя и холодильника. (Это утверждение составляет содержание второй теоремы Карно).

П ри расчёте мы выбрали в качестве рабочего тела идеальный газ именно по тому, что для него точно известно уравнение состояния, что и позволило легко вычислить величину коэффициента полезного действия.

Тот фат, что коэффициент полезного действия машины, работающей по циклу Карно, максимален, обусловлен тем обстоятельством, что этот круговой процесс полностью обратим.

Полученные результаты можно обобщить на любой замкнутый процесс.

Представим себе произвольный обратимый замкнутый процесс, изображаемый графически замкнутой кривой АВСДА (рис. 1.5). этот процесс может быть приближённо разбит на некоторое множество узких циклов Карно. При осуществлении всех этих циклов Карно части каждой из адиабат, проходимые дважды в противоположных направлениях, выпадут. Останутся изотермы и краевые участки адиабаты, образующие в совокупности замкнутую ломаную линию. В пределе эта линия даст обход по циклу АВСДА. Каждый из этих циклов Карно протекает между температурами Т_i1и T_i2 разными для различных циклов.

Обозначим максимальную из температур, имеющих место при протекании всего цикла АВСДА, через Т₁, а минимальную – через Т₂, тогда КПД каждого из отдельных циклов Карно

Отсюда и КПД всего цикла АВСДА будет удовлетворять условию: