4.3. Математическая модель системы массового обслуживания при атаке DoS

Рассмотрим теперь математическую модель многоканальной системы массового обслуживания и выведем, необходимую нам, математическую модель данной системы при воздействии на нее угроз отказа в обслуживании.

Задача ставится так: имеется n ка­налов (линий связи), на которые поступает поток зая­вок с интенсивностью и поток угроз с интенсивностью . Поток обслуживания имеет интенсивность

_, (4.1)

так как на обслуживающий прибор воздействует поток угроз, и время обслуживания возрастает. Найдем финальные вероятности состояний системы массового обслуживания при воздействии на нее угрозы отказа в обслуживании, а также показатели ее эффектив­ности:

— абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу вре­мени при воздействии на систему угроз отказа в обслуживании;

— относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых си­стемой при воздействии на систему угроз отказа в обслуживании;

P_отк — вероятность отказа, т. е. того, что заявка по­кинет СМО необслуженной;

— среднее число занятых каналов.

Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случаев оно совпадает с числом занятых каналов):

S₀ ­ — в СМО нет ни одной заявки,

S₁ — в СМО находится одна заявка (один канал за­нят, остальные свободны),

……………………..

S_k — в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),

……………………..

S_n — в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний системы массового обслуживания при воздействии на нее угрозы отказа в обслуживании очень похож на граф состояний n­‑канальной СМО с отказами, рассмотренной в предыдущей главе. Отличия появятся лишь при разметке графа (рис. 4.2). Из S₀ в S₁ систему переводит поток заявок с интенсив­ностью

(4.2)

(

как только приходит заявка, система пере­скакивает из S₀ в S₁). Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое (верхние стрелки на рис. 4.2).

Рис. 4.2. Граф состояний СМО при воздействии на нее угрозы отказа в обслуживании

Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S₁ (работает один ка­нал). Он производит обслуживаний в единицу вре­мени. Проставляем у стрелки интенсивность . Теперь представим себе, что система находится в состоянии S₂ (работают два канала). Чтобы ей перейти в S₁, нужно, чтобы либо закончил обслуживание пер­вый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживании равна, проставляем ее у со­ответствующей стрелки. Суммарный поток обслужива­ния, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность , каналами — _. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 4.2.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовой формулой для финаль­ных вероятностей в схеме с воздействующей угрозой

(4.3)

Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для :

(4.4)

В формулах (4.3) и (4.4) интенсивности и входят не по отдельности, а только в ви­де отношения _. Обозначим

. (4.5)

Ее смысл — среднее число заявок, приходящее за среднее время об­служивания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (4.3), (4.4) в виде:

, (4.6)

(4.7)

Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем — вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслуже­на). Для этого нужно, чтобы все n каналов были за­няты:

. (4.8)

Отсюда находим относительную пропускную спо­собность —вероятность того, что заявка будет обслу­жена:

. (4.9)

Абсолютную пропускную способность получим, ум­ножая интенсивность потока заявок на :

. (4.10)

Осталось только найти среднее число занятых ка­налов . Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок. Зна­чит, среднее число занятых каналов равно

, (4.11)

или, учитывая (4.10),

. (4.12)

Теперь мы можем получить итоговые формулы для необходимых нам показателей эффективности. Выведем их из формул (4.8), (4.9), (4.10), (4.12) с учетом формул (4.1) и (4.2):

,

,

,

(4.13)

(4.14)

.

И, заменяя , по формуле (4.2) получим:

(4.15)

И, наконец, получим полную формулу для расчета среднего числа занятых каналов :

(4.16)