- •Моделирование атак сети массового обслуживания
- •Введение
- •1. Описательная модель системы массового обслуживания
- •1.1. Основы структурированной проводки
- •1.2. Структурные составляющие проводки
- •1.3. Промышленное обеспечение
- •1.4. Стандарт eia/tia-568
- •1.5. Горизонтальная проводка
- •1.6. Развитие структурированных систем
- •2. Исследование угроз безопасности системы массового обслуживания
- •2.1. Угрозы информационной безопасности в структурированных системах
- •2.2. Классификация угроз информационной безопасности в структурированных системах
- •2.3. Типы воздействия угроз на информационную систему
- •2.4. Угрозы отказа в обслуживании в структурированных системах
- •3. Формализованная модель тракта телекоммуникации как системы массового обслуживания
- •3.1. Понятие о марковском процессе
- •3.2. Потоки событий
- •3.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний
- •3.4. Основные элементы теории массового обслуживания
- •3.5. Схема гибели и размножения
- •3.6. Формула Литтла
- •3.7. Многоканальная система массового обслуживания с отказами
- •4. Математическая модель оценки воздействия угроз
- •4.1. Показатели оценивания эффективности системы массового обслуживания
- •4.2. Формализации угроз отказа в обслуживании
- •4.3. Математическая модель системы массового обслуживания при атаке DoS
- •4.4. Оценка эффективности влияния угроз на элементы системы массового обслуживания
- •4.5. Методика определения величины риска от угрозы отказа в обслуживании
- •Вопросы для самоконтроля
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.2. Потоки событий
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени [35].
Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени Ot (рис. 3.3); не надо только забывать, что положение каждой из них случайно, и на рис. 3.3 изображена только какая-то одна реализация потока.
Рис. 3.3. Поток событий
Говоря о «потоке событий», нужно иметь в виду, что здесь термин «событие» имеет значение, несколько отличное от того, который используется в теории вероятностей. Там «событием» (или «случайным событием») называется какой-то исход опыта, обладающий той или другой вероятностью. События, образующие поток, сами по себе вероятностями не обладают; вероятностями обладают другие, производные от них события, например: «на участок времени (рис. 3.3.) попадет ровно два события», или «на участок времени попадет хотя бы одно событие», или «промежуток времени между двумя соседними событиями будет не меньше t».
Важной характеристикой потока событий является его интенсивность К — среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность потока может быть как постоянной ( = const), так и переменной, зависящей от времени t.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени. На практике чаще встречаются потоки не регулярные, со случайными интервалами.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока должна быть постоянной. Однако это не значит, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно — поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения, как, например, показано на рисунке 3.3. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины 1 может попасть больше, а на другой — меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t1 и t2 (рис. 3.4) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами.
Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу. Если поток событий ординарен, то вероятностью попадания на малый участок времени двух или более событий можно пренебречь.
Рис. 3.4. Поток событий без последствий
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» связано с тем, что процессы, связанные с простейшими потоками, имеют наиболее простое математическое описание. Между прочим, самый простой, на первый, взгляд, регулярный поток не является «простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой, функциональной зависимостью. Без специальных усилий по поддержанию его регулярности такой поток обычно не создается.
А именно, при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.
Легко доказать, что для простейшего потока с интенсивностью . интервал Т между соседними событиями имеет так называемое показательное распределение [12] с плотностью
. (3.1)
Величина в формуле (2.1) называется параметром показательного закона. Для случайной величины Т, имеющей показательное распределение, математическое ожидание есть величина, обратная параметру, а среднее квадратическое отклонение равно математическому ожиданию:
. (3.2)
В теории вероятностей в качестве «меры случайности» неотрицательной случайной величины нередко рассматривают так называемый коэффициент вариации:
. (3.3)
Из формул (3.2), (3.3) следует, что для показательного распределения , т. е. для простейшего потока событий коэффициент вариации интервалов между событиями равен единице [40].
Очевидно, что для регулярного потока событий, у которого интервал между событиями вообще не случаен ( ) коэффициент вариации равен нулю. Для большинства потоков событий, встречающихся на практике, коэффициент вариации интервалов между событиями заключен между нулем и единицей и может служить некоторой мерой «степени регулярности» потока: чем ближе к нулю, тем «регулярнее» поток. Простейший поток — это «наименее регулярный» из встречающихся на практике потоков.
В расчетах, связанных с потоками событий, очень удобно пользоваться понятием «элемента вероятности». Рассмотрим на оси Ot простейший поток с интенсивностью и произвольно расположенный элементарный (очень маленький) участок времени . Элементом вероятности называется вероятность попадания на этот участок хотя бы одного события потока. Элемент вероятности (с точностью до малых величин более высокого порядка по сравнению с ) равен
, (3.4)
то есть для простейшего потока элемент вероятности равен интенсивности потока, умноженной на длину элементарного участка. Заметим, что элемент вероятности, в силу отсутствия последействия, совершенно не зависит от того, сколько событий и когда появлялись ранее.
Заметим также, что с точностью до величин высшего порядка малости вероятность появления хотя бы одного события на элементарном участке равна вероятности появления ровно одного события на этом участке. Это вытекает из ординарности простейшего потока [41].
Поток событий называется рекуррентным (иначе — «потоком Пальма»), если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между событиями Т1, Т2, Т3, ... (рис. 3.5) представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением (например, с плотностью, показанной на рис. 3.5).
Рис. 3.5. Рекуррентный поток
Очевидно, простейший поток представляет собой частный случай рекуррентного потока, когда интервалы между событиями имеют показательное распределение (3.1). Другим частным (вырожденным) случаем рекуррентного потока является регулярный поток событий, где интервалы вообще не случайны, постоянны.
Целую гамму рекуррентных потоков событий, обладающих разной степенью упорядоченности, можно получить «просеиванием» простейшего потока. Такой поток получается из простейшего, если сохранять в потоке каждое n-е событие, а промежуточные — выбрасывать. Простейший поток есть не что иное, как поток Эрланга первого порядка. Можно показать, что при таком просеивании простейшего потока коэффициент вариации интервалов уменьшается, и при увеличении порядка n поток Эрланга приближается к регулярному. Коэффициент вариации интервалов между событиями потока Эрланга n-го порядка равен . Потоки Эрланга образуют целую гамму потоков с различной степенью упорядоченности — от «полного беспорядка» (простейший поток) до полной упорядоченности (регулярный поток).