3.5. Схема гибели и размножения

Схема гибели и размножения. Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для ве­роятностей состояний, а также написать и решить ал­гебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы пред­ставляет собой так называемую «схему гибели и раз­множения».

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Граф состояний для схемы гибели и размножения

Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытя­нуть - в одну цепочку, в которой каждое из средних со­стояний (S₁, S₂, ..., S_n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний — правым и левым, а крайние состояния (S₀, S_n) - только с од­ним соседним состоянием. Термин «схема гибели и раз­множения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Найдем финальные вероятности состояний для схемы гибели и размножения. Предположим, что все потоки событий, переводя­щие систему по стрелкам графа — простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекаю­щий в ней процесс — простейшими) [52].

Пользуясь графом на рис. 3.8, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятно­стей состоянии (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого со­стояния S₀ имеем:

. (3.12)

Для второго состояния S₁:

.

В силу (3.12) последнее равенство приводится к виду:

.

Далее, совершенно аналогично:

.

И вообще:

,

где k принимает все значения от 0 до n. Итак, фи­нальные вероятности p_0 ,p_1, ...,p_n удовлетворяют урав­нениям

(3.13)

Кроме того, надо учесть нормировочное условие

. (3.14)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравне­ния (3.13) выразим р₁ через р₀:

. (3.15)

Из второго, с учетом (2.15), получим:

. (3.16)

Из третьего, с учетом (2.16),

. (3.17)

И вообще, для любого k (от 1 до п):

. (3.18)

В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данно­го состояния S_k), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S_k).

Таким образом, все вероятности состояний p_0 ,p_1, ...,p_n выражены через одну из них (p₀). Подставим эти выражения в нормировочное условие (3.14).

Получим, вынося за скобку p₀:

.

Отсюда получим выражение для р₀:

(3.19)

Заметим, что коэффициенты при р₀ в каждой из них представля­ют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (3.19). Зна­чит, вычисляя р₀, мы уже нашли все эти коэффици­енты.

Полученные формулы будут нам полезны при дальнейшей разработке математической модели системы массового обслуживания учитывающей воздействие на нее угроз отказа в обслуживании.