3.7. Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Задача ставится так: имеется n ка­налов (линий связи), на которые поступает поток зая­вок с интенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивность (величина, обратная среднему време­ни обслуживания ). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффектив­ности:

А — абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу вре­мени;

Q - относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых си­стемой;

P_отк — вероятность отказа, то есть того, что заявка по­кинет СМО необслуженной;

— среднее число занятых каналов.

Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов);

S₀ – в СМО нет ни одной заявки,

S₁ ­– в СМО находится одна заявка (один канал за­нят, остальные свободны),

……………………..

S_k – в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),

……………………..

S_n – в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения (рис. 3.10). Разметим этот граф — про­ставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S₀ в S₁ систему переводит поток заявок с интенсив­ностью (как только приходит заявка, система пере­скакивает из S₀ в S₁). Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое (верхние стрелки на рис. 3.10).

Рис. 3.10. Граф состояний системы массового обслуживания

Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S₁ (работает один ка­нал). Он производит обслуживаний в единицу вре­мени. Проставляем у стрелки интенсивность . Теперь представим себе, что система находится в со­стоянии S₂ (работают два канала). Чтобы ей перейти в S₁, нужно, чтобы либо закончил обслуживание пер­вый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживании равна ; проставляем ее у со­ответствующей стрелки. Суммарный поток обслужива­ния, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность , каналами — _. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 3.10.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (3.18), (3.19) для финаль­ных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (3.19) получим:

(3.25)

Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для :

(3.26)

Заметим, что в формулы (3.25), (3.26) интенсив­ности и входят не по отдельности, а только в ви­де отношения _. Обозначим

, (3.27)

и будем называть величину р «приведенной интенсив­ностью потока заявок». Ее смысл — среднее число заявок, приходящее за среднее время об­служивания одной заявки.

Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (3.25), (3.26) в виде:

, (3.28)

(3.29)

Формулы (3.28), (3.29) для финальных вероятно­стей состояний называются формулами Эрланга [70].

Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем — вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслуже­на). Для этого нужно, чтобы все n каналов были за­няты:

. (3.30)

Отсюда находим относительную пропускную спо­собность—вероятность того, что заявка будет обслу­жена:

. (3.31)

Абсолютную пропускную способность получим, ум­ножая интенсивность потока заявок на :

. (3.32)

Осталось только найти среднее число занятых ка­налов . Нам известна абсолютная пропускная способность A. Это — не что иное, как интенсивность потока обслужен­ных системой заявок.

Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок. Зна­чит, среднее число занятых каналов равно:

, (3.33)

или, учитывая (3.32),

. (3.34)