1.2.2. Начальные приближения

Эффективность тех или иных алгоритмов оптимизации, а именно число итераций, время вычисления на ЭВМ и близость получаемых результатов к глобальному оптимуму, сильно зависит от того, насколько удачно выбрано начальное приближение, то есть исходный вектор искомых параметров. Специфика поиска приближения заключается в том, что при этом необходимо хорошее понимание той области, для которой применяются методы математического программирования. С одной стороны, при удачном выборе исходного решения можно обходиться более простыми алгоритмами оптимизации или даже не использовать их вообще. С другой стороны, хорошо было бы иметь быстрые и надежные алгоритмы, нечувствительные к такому выбору. Однако при поиске глобальных решений нелинейных задач, по-видимому, не обойтись без применения хороших начальных приближений и последующего применения дополнительной оптимизации. Такой путь является, по крайней мере, более надёжным. При решении поставленной задачи синтеза передаточной функции начальный вектор квантованных коэффициентов задаётся либо случайно, либо отправной точкой для этого является аналитическое или численное решение аппроксимационной задачи в области непрерывного изменения коэффициентов. Применительно к КИХ-фильтрам используются численные методы решения задач аппроксимации (такие, как алгоритмы замены ремеза или линейное программирование).

Ввиду того, что порядок передаточной функции ЦФ определяется всегда таким образом, чтобы удовлетворить с некоторым запасом заданным требованиям, предъявляемым к АЧХ, существует целый ряд допустимых решений с непрерывными коэффициентами. Поэтому возникает проблема выбора подходящего решения с целью получения хорошего начального приближения. В частности, одним из таких решений считается минимаксное, которое используется в большинстве случаев как при синтезе БИХ-, так и КИХ-фильтров.

1.2.3. Синтез передаточных функций КИХ-фильтров

Возможность получения строго линейных ФЧХ, независимо от того, квантованы или нет коэффициенты, и отсутствие проблемы предельных циклов вызывают большой интерес к разработке и применению КИХ-фильтров. Для получения линейных ФЧХ достаточно, чтобы импульсные характеристики названных ЦФ были симметричны или антисимметричны. Это условие оказывается полезным и с точки зрения размерности задачи аппроксимации, поскольку оно приводит к уменьшению числа переменных в два раза.

Для КИХ-фильтров могут быть использованы алгоритмы дискретной оптимизации, разработанные применительно к БИХ-фильтрам. Однако очень высокий порядок (вплоть до 300) передаточных функций КИХ-фильтров, обусловленный получением хороших избирательных свойств, делает невозможным применение многих из этих алгоритмов.

Синтез передаточной функции КИХ-фильтра осуществляется для классических структур прямой формы или некоторых других конфигураций, составными частями которых являются структуры прямой формы. Как правило, интерес представляет оптимизация АЧХ в минимаксном смысле. В этом случае проблема дискретной оптимизации может быть решена с помощью существующих общецелевых алгоритмов ЦЛП, приводящих к глобальному оптимуму. Однако при синтезе ЦФ средних и высоких порядков этими алгоритмами требуются значительные затраты машинного времени. Это и ряд других факторов стимулировали проведение исследовательских работ по созданию усовершенствованных версий алгоритмов ЦЛП и новых процедур, учитывающих специфику рассматриваемой проблемы и направленных на получение оптимальных или близких к таковым решений за приемлемое время.

Для КИХ-фильтров в большей степени принято оперировать не порядком передаточной функции, а длиной импульсной характеристики (часто называемой длиной фильтра или числом отводов). В дальнейшем под N будем понимать длину импульсной характеристики, соответствующую порядку передаточной функции N-1.

В большинстве случаев в различных алгоритмах синтеза передаточных функций КИХ-фильтров при ограниченной длине слова коэффициентов рассматривается задача получения оптимальных АЧХ в минимаксном смысле, причем минимизируется ошибка при . Но также для оптимизации АЧХ может использоваться критерий наименьших квадратов на непрерывном множестве частот. Таким образом существует возможность многократного использования каждого из алгоритмов для получения допустимого решения при минимальном М. Рассмотрим проблему минимизации М.

Для КИХ-фильтров поиск допустимого решения, соответствующего минимуму длины слова коэффициентов М, осуществляется путем многократного применения алгоритма дискретной оптимизации для различных М. Исходное значение может быть предварительно оценено с помощью соотношений, полученных детерминированными или статистическими методами, причем последние дают лучшие результаты.

Длина слова может быть дополнительно уменьшена, если преднамеренно увеличить N. На основе эмпирических/статистических соотношений может быть показано, что существует минимальное значение длины слова, дальнейшее уменьшение которого не позволяет получить требуемый уровень пульсаций АЧХ, даже если .

Так как коэффициенты КИХ-фильтров имеют большой разброс по величине, то для представления малых значений требуется достаточно большая длина слова. Следовательно можно разделить коэффициенты на две группы – малых и больших значений

С точки зрения минимизации аппаратурных затрат на реализацию ЦФ предпочтительнее минимизировать суммарное число ненулевых бит в представлении коэффициентов при ограничении на уровень ошибки (или ). Однако в многих случаях рассматривается обратная задача, а именно минимизация указанной ошибки при ограниченном числе ненулевых бит (обычно 1 … 3). При этом интерес вызывает получение АЧХ, оптимальной в минимаксном смысле, или с использование критерия наименьших квадратов.