7.3. Использование порождающей динамической системы

Принцип использования порождающей системы при формировании сложных сигналов состоит в том, что синтезируется не зависимость ординаты сигнала от времени, а создаётся такая структура, движения в которой имеют нужную форму. Принципиально важным является то, что, начиная с определённого уровня сложности сигнала, легче создать генерирующую систему, чем пытаться синтезировать форму сигнала. При этом погрешности параметров динамической системы слабее изменяют форму сигнала, чем погрешности слепого копирования (аппроксимации) формы сигнала.

Синусоидальный сигнал вида y(t) = U₀ sin (2f₀t + ₀) является собственным решением порождающей динамической системы в виде обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(7.5)

при начальных условиях y(0) = U₀ sin ₀ и . Если в левой части этого уравнения имеется слагаемое с малым положительным коэффициентом  при первой производной dy(t)/dt, то собственными решениями являются затухающие квазигармонические колебания. Уравнением (7.5) приближённо описываются процессы в сосредоточенных электрических линейных цепях с постоянными параметрами, в механических системах типа маятника, в электрических машинах, в сетях электроснабжения, в небесной механике и т.д.

Для ряда непрерывных функций времени y(t) несинусоидальной формы можно найти обыкновенные однородные дифференциальные уравнения второго порядка [11], собственными решениями которых являются эти функции. Ниже в п.п. 1...4 таблицы 7.1 представлены примеры уравнений такого вида.

Таблица 7.1

Примеры динамических систем и их собственных функций

№ п/п	Уравнение или структура системы	Вид собственного решения y(t)	Примечание
1			Затухающие гармонические функции
2		Jn(t)	Цилиндрические функции (Бесселя, Неймана, Ганкеля и другие)
3		Tn(t)	Функции Чебышева (Лежандра)
4		Ln(t)	Функции Лагерра (Эрмита)
5		y1(t) – сигнал треугольной формы; y2(t) – сигнал прямоугольной формы;	Функциональный генератор

Продолжение табл. 7.1

Примеры динамических систем и их собственных функций

66 6	Т1 Т2 … Тn-1 Тn Сум2 СдвР	М- последовательность импульсов	Цифровой автомат формирования ПСП сигналов
7		Импульсная реакция	Пассивный генератор ЧМ сигналов
88		Аттрактор Лоренца при  = 10; r0 = 28; β = 8/3; y1(0) = 0,5; y2(0) = 10; y3(0) = 5	Генератор непериодической хаотической последовательности

Синтезатор сигналов, близких к собственным решениям систем, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с непрерывным временем в качестве независимой переменной, представляет собой, например, электрическую модель дифференциального уравнения динамической системы на основе операционных усилителей. Момент начала формирования выходного сигнала y(t) задаётся ударным возбуждением такой системы или замыканием её цепи обратной связи.

Порождающая динамическая система может иметь разрывные решения, если включает в себя узлы с логическими функциональными связями. В п. 5 таблицы 7.1 представлена схема функционального генератора [22], собственными функциями которой являются сигналы треугольной y₁(t) и прямоугольной y₂(t) формы. Автоколебательную систему образуют соединённые в кольцо электронный интегратор и релейный элемент, знак выходного сигнала которого изменяется на противоположный при достижении входным колебанием заданных порогов. Для управления частотой автоколебаний такого генератора между выходом релейного элемента и входом интегратора включают перемножитель сигнала y₂(t) на постоянный коэффициент.

Порождающая система может вместо операционных усилителей и аналоговых напряжений использовать другой физический носитель. Например, распространение поверхностных акустических волн в кристалле из пьезокварца с нанесёнными на его поверхность неоднородностями описывается уравнениями, решения которых могут представлять собой радиосигнал с определённым законом изменения параметров. В п. 7 табл. 7.1 представлен пример формирования сигнала сложной формы за счёт периодического ударного возбуждения дисперсионной линии задержки ДЛЗ на поверхностных акустических волнах ПАВ. Если зависимость времени задержки от частоты в ДЛЗ выбирается линейной, то её импульсная реакция близка к ЛЧМ радиоимпульсу.

К числу динамических систем с импульсными выходными сигналами относится [32] синтезатор псевдослучайных последовательностей импульсов (п. 6 табл. 7.1), который представляет собой соединённые в кольцо сдвиговый регистр из n триггеров СдвР и сумматор по модулю два Сум2 с весовыми коэффициентами, определяющими характеристический двоичный полином выходной М-последовательности. Например, для n = 10 триггеров при суммировании отводов от 7-го и 10-го в зависимости от начальных условий в этой схеме получается 60 различных ортогональных М-последовательностей длительностью в 2ⁿ-1 = 1023 раза большей, чем задержка в одиночном триггере.

В настоящее время найдено и исследуется большое количество детерминированных динамических систем, процессы в которых при определённых параметрах и начальных условиях представляют собой непериодический хаотический процесс y(t). В п. 8 табл. 7.1 представлен пример системы уравнений, описывающих аттрактор Лоренца [33], процессы в котором могут иметь такой характер при определённых значениях коэффициентов и начальных условий. Поведение сложных сигналов такого вида невозможно прогнозировать на сравнительно большие отрезки времени и, следовательно, их формирование с помощью порождающей системы является наиболее корректным.

Порождающая динамическая система может описываться или дифференциальными уравнениями с непрерывной независимой переменной (временем), или уравнениями в частных производных, или разностными уравнениями, или структурой с обратными связями. Её техническая реализация может базироваться на аналоговых сигналах или на цифровых потоках. Варианты порождающей системы могут возникать при замене переменной, при преобразовании дифференциального уравнения в интегро-дифференциальное или в интегральное уравнение относительно первой или второй производной исходной переменной. В таком случае следует выбирать вариант, который точнее реализуется технически. Для примера на рис. 7.8 показана схема генерирования ансамбля функций Бесселя (t) = J_n(t), являющихся решением интегрального уравнения

, (7.6)

которое получается из п. 2 табл. 7.1 двукратным дифференцированием исходной переменной. Перемножители П₁ и П₂ формируют коэффициенты, зависящие от времени, коэффициент нелинейной функции в П₂ задаёт порядок n функции Бесселя, а коэффициенты передачи интеграторов И₁ и И₂ – длительность процесса Т во времени.

Рис. 7.8. Динамическая система, порождающая функции Бесселя

Сигнал в порождающей динамической системе формируется в темпе вычислительного процесса. Можно изменять масштаб времени, в котором формируется сигнал, если изменить коэффициенты уравнения или, например, записать коды отсчётов сигнала в запоминающее устройство, а затем воспроизводить y(t) через цифро-аналоговый преобразователь в нужном темпе [34]. Наконец, можно изменением в уравнении знака коэффициента при независимой переменной (времени t) формировать сигнал, в котором независимая переменная изменяется в обратном направлении по сравнению с исходным. В этом случае неустойчивые в обычных условиях процессы становятся устойчивыми и наоборот.

Важная особенность порождающих динамических систем состоит в том, что момент начала генерирования выходного сигнала определяется включением возбуждающего сигнала. Кроме того, такие системы проявляют избирательные свойства по отношению к возбуждающим сигналам определённой формы. По существу они являются резонансными цепями по отношению к сигналам, негармоническая форма которых близка к их собственным функциям. Поэтому такие системы называют согласованными фильтрами. В ответ на возмущение в виде короткого импульса они генерируют сложный сигнал определённой формы: тогда речь идёт о фильтрах растяжения. При поступлении на вход динамической системы сигнала именно такой (согласованной) формы они формируют короткий импульс и проявляют тем большую избирательность, чем больше база сложного сигнала по сравнению с единицей и чем ближе форма возбуждающего сигнала к собственной функции системы: получается фильтр сжатия сигнала во времени.

Примером динамической системы, порождающей одновременно два связанных сигнала сложной формы является схема, рассмотренная в п. 6.3 и представленная на рис. 6.6. Один из выходных сигналов этой динамической системы e_м(t) в силу свойства модуляционной характеристики ГУН пропорционален частоте повторения высокочастотного выходного сигнала u(t). По существу такая схема является цифро-аналоговым автоматом, настроенным на формирование когерентных один другому сигналов с параметрами, записанными в блоке памяти БП.

Согласованная с сигналом сложной формы динамическая система может быть измерителем отклонений от заданной формы. Такие отклонения появляются в качестве погрешностей технической реализации устройства формирования или несут информацию о свойствах среды распространения в радиолокационных задачах. Если отклонений от заданной формы нет, то форма простого выходного сигнала измерителя аппроксимирует -функцию, то есть имеет вид гауссовой кривой или функции (sin x)/x с длительностью, которая обратно пропорциональна занимаемой полосе частот. Вариации входного сигнала проявляются в виде отклонений реакции системы от указанной простой формы, как это происходит в анализаторах спектра: в них гармонический сигнал вызывает выходную реакцию в виде узкой спектральной линии, а более сложное колебание преобразуется к спектральной плотности преобразования Фурье. Рассмотренные в главе 1 интегральные преобразования (см. таблицы 1.1 и 1.2) по существу выполняют роль таких динамических систем.