Задача 3. Расчет параметров ряда распределения
По сгруппированным данным и графикам определите: среднее арифметическое; моду; медиану; первую и девятую децили; коэффициент децильной дифференциации.
Сравните результаты с решением Задачи 1.
Методика решения
При расчетах по группированным данным учитывается частота появления каждого варианта (табл. 4). Среднее значение ‑ средняя арифметическая взвешенная:
где – варианты признака; – частоты (частости).
При расчете средней
величины интервального ряда в качестве
вариантов признака используются значения
середины интервалов ‑
.
Таблица 4
Расчет среднего значения
|
|
|
|
10 .. 20 |
15 |
|
|
.. |
|
|
|
50 .. 60 |
55 |
|
|
|
— |
|
|
Можно при расчете средней величины в качестве весов использовать частости распределения. Величина средней от этого не меняется.
Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость). Для интервального ряда мода - это координата основания самого высокого столбика гистограммы, т.е. модального интервала. В качестве оценки моды используют не середину модального интервала, а скорректированное значение (рис.4).
Рис. 4. Графическое определение моды
Значение моды по сгруппированным данным также можно определить по формуле
где xMo
‑
нижняя граница модального интервала;
hMo
– величина модального интервала; fMo,
fMo–1,
fMo+1
‑ частоты (частости) соответственно
модального, предмодального и послемодального
интервалов.
Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту (частость).
Для определения медианного значения признака в интервальном ряду сначала находят номер медианы:
где n – объем совокупности.
После чего определяют
медианный
интервал, т.е.
интервал, в котором находится порядковый
номер медианы (
).
Для этого определяют, накопленная
частота какого интервала первой превышает
номер медианы.
Пример. Пусть есть следующий интервальный ряд:
xi |
fi |
wi, % |
Si(fi) |
Si(wi), % |
20 .. 30 |
10 |
20 |
10 |
20 |
30 .. 40 |
16 |
32 |
26 |
52 |
40 .. 50 |
17 |
34 |
43 |
86 |
50 .. 60 |
7 |
14 |
50 |
100 |
|
50 |
100 |
— |
— |
NMe = 25,5 или NMe = 50%, т.е. медиане соответствует среднее из двух значений, стоящих под номерами 25 и 26 в упорядоченном вариационном ряду, или 50 % совокупности.
Найдем медианный интервал. Накопленная частота первого интервала S1=10, S1 < 25,5; значит, в этом интервале лежит 10 единиц упорядоченного вариационного ряда и нет медианного значения. Накопленная частота второго интервала S2 =26, S2 >25,5; значит, в первом и втором интервалах находится 26 единиц упорядоченного вариационного ряда, в том числе и медиана. Таким образом, мы определили медианный интервал – [30 - 40].
К такому же результату мы придем, если будем искать медианный интервал по накопленным частостям. Накопленная частость второго интервала S2=52%, что больше NMe = 50 %, значит, именно в нем находится медиана.
Точное значение медианы для сгруппированных данных рассчитываем по формуле
где xMe ‑ нижняя граница медианного интервала; h – величина медианного интервала; SMe–1 ‑ накопленная частота (частость) предмедианного интервала, fMe ‑ частота (частость) медианного интервала.
Медиану также можно найти графически, используя кумуляту распределения (рис. 5).
Рис. 5. Графическое определение медианы
Оценки моды и медианы, полученные по результатам группировки, могут отличаться от оценок показателей, полученных без группировки. Группировка данных - это обобщение, укрупнение, при котором могут теряться отдельные мелкие подробности, но зато становится видна «картина в целом».
К структурным характеристикам, кроме моды и медианы, относятся и другие порядковые статистики: квартили (Qi) – делящие ряд на 4 равные части, децили (Di) – делящие ряд на 10 частей и др.
Остановимся на расчете показателей децилей, нашедших широкое применение в анализе дифференциации различных социально-экономических явлений.
Общая схема расчета децилей следующая:
1) поскольку децили отсекают десятые части совокупности, по накопленным частостям определяем интервалы, куда попадают порядковые номера децилей: для первой децили ‑ интервал, где находится вариант, отсекающий 10 % совокупности с наименьшими значениями признака; для второй – 20 % и т. д.; для девятой децили ‑ интервал, содержащий вариант, отсекающий 90 % с наименьшими значениями, или, что то же самое, 10 % с наибольшими значениями признака;
2) рассчитываем величину децилей по формулам, аналогичным формуле для нахождения медианы. Например, первая и девятая децили находятся по формулам:
где
,
‑
начала интервалов, где находятся первая
и девятая децили;
,
‑ величины интервалов, где находятся
первая и девятая децили;
‑
общая сумма частот (частостей);
,
‑ суммы накопленных частот (частостей)
интервалов, предшествующих тем, в которых
находятся первая и девятая децили;
,
‑ частоты (частости) интервалов,
содержащих первую и девятую децили.
Соотношение децильных доходов в социальной статистике получило название коэффициента децильной дифференциации доходов населения (KD):
