Задача 14. Расчет индивидуальных индексов

Рассчитайте по следующим данным (табл. 15) индивидуальные индексы изменения цены по каждому товару (i_p), сводные индексы цены (I_p), объема (I_q) и товарооборота (I_pq). Покажите взаимосвязь индексов.

Таблица 15

Наименование товара	Июль		Август
	Цена за единицу товара, руб.	продано, шт.	цена за единицу товара, руб.	продано, шт.
А Б В Г	x1 x2 x3 x4	y7 y8 y9 y10	x5 x6 x7 x8	y2 y3 y4 y5
Итого

Рассчитайте по данным табл. 16 и 17 сводные индексы изменения цены.

Таблица 16

Товар	Товарооборот текущего периода, тыс. руб.	Изменение цен в текущем периоде по сравнению с базисным, %
А Б В
Итого		-

Таблица 17

Товар	Реализация в базисном периоде, тыс.руб.	Изменение цен в текущем периоде по сравнению с базисным, %
А Б В
Итого		-

На основе данных, представленных в табл. 18 и 19, найдите сводные индексы производительности труда.

Таблица 18

Вид продукции	Май		Июнь		Отпускная цена, тыс. руб.
	произведено, шт.	общие затраты времени, чел.-ч.	произведено, шт.	общие затраты времени, чел.-ч.
А Б В	y1 y2 y3		y4 y5 y6
Итого	-		-		-

Таблица 19

Вид продукции	Затраты времени на 1 изделие, чел.-ч.		Произведено, тыс. шт.
	I полугодие	II полугодие	I полугодие	II полугодие
А Б В	/ 25 / 30 / 50	/ 25 / 30 / 50

Значения , и для табл. 15-19 выписывают из соответствующих колонок (X, Y и Z) исходных данных. При этом и берут по модулю.

Методика решения

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельных единиц статистической совокупности, т.е. динамику или территориальные изменения по одному товару, одному виду продукции, одной сельскохозяйственной культуре и т.п.

Индивидуальный индекс цены рассчитывается по формуле

,

где - цена товара в текущем периоде; р₀ ‑ цена товара в базисном периоде.

Индивидуальный индекс физического объема позволяет оценить изменение объемов продажи товара в натуральных единицах измерения:

,

где - количество товара, реализованное в текущем периоде; q₀ — количество товара, реализованное в базисном периоде.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении отражает индивидуальный индекс товарооборота:

.

Приведенные индивидуальные индексы взаимосвязаны между собой:

.

Данная взаимосвязь показывает, что изменение товарооборота складывается под воздействием динамики цены и изменения объема продажи данного товара.

Сводные индексы выражают сводные (обобщающие) результаты совместного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность. Сводные индексы вычисляются по товарным группам или нескольким видам продукции, выпускаемым одним предприятием или всеми предприятиями отрасли, нескольким сельскохозяйственным культурам и т.п.

Сводные индексы могут быть представлены в двух формах:

• агрегатной;

• средней.

При расчете сводных индексов в агрегатной форме производится сравнение суммарных объемов товарооборота, издержек производства, отработанного времени. Средние же формы позволяют получить агрегатный индекс по товарной группе или нескольким видам продукции на основе осреднения рассмотренных выше индивидуальных индексов.

При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Вернемся к примеру с розничными ценами. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торговле, складывать неправомерно, однако с экономической точки зрения вполне допустимо суммировать товарооборот по этим товарам. Если мы сравним товарооборот по определенному кругу рассматриваемых товаров в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим сводный индекс товарооборота:

где п ‑ число товаров, входящих в рассматриваемую товарную группу.

На величину индекса товарооборота оказывают влияние как и изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того, чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне: базисном или текущем. В зависимости от этого получается два вида сводных индексов цены.

Сводный индекс цены по формуле Пааше (по текущим весам):

.

Числитель данного индекса отражает фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает только изменение цен.

Сводный индекс цены по формуле Ласпейреса (по базисным весам):

.

Знаменатель данного индекса отражает фактический товарооборот базисного периода. Числитель представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в базисном периоде в ценах текущего периода. Таким образом мы исключаем влияние динамики объема.

Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчётном периоде. Индекс Ласпейреса показывает влияние изменения цен на стоимость количества товаров, реализованных в базисном периоде. Поскольку в качестве базы сравнения для вычисления индексов Паше и Ласпейреса берут различные объемы (базисные или текущие), то их значения получаются неодинаковыми.

Осредненную величину изменения цены дает индекс Фишера:

Сводный индекс физического объема по формуле Пааше (по текущим весам):

Сводный индекс цены по формуле Ласпейреса (по базисным весам):

Индекс товарооборота может быть найден и через взаимосвязь индексов (мультипликативная модель индексов):

При этом для увязки индексов в систему веса в индексах первичных и вторичных признаков должны быть фиксированы на уровне разных периодов:

или

Индексный метод также широко используется в анализе произвольности труда. Рассмотрим два возможных подхода к расчету таких индексов.

Первый подход основан на учете количества продукции, вырабатываемого в единицу времени, т.е. выработки (w). Выработку рассчитывают по формуле:

где Т ‑ суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в человеко-часах или человеко-днях, q – количество произведенной продукции.

Производительность труда при втором подходе определяется затратами рабочего времени на единицу продукции, или, другими словами, трудоемкостью (t).

Выработка и трудоемкость являются обратными показателями:

Основанные на показателях выработки и трудоемкости индивидуальные индексы производительности труда имеют следующий вид:

;

Трудоемкость является обратным показателем, поэтому ее снижение в текущем периоде по сравнению с базисным свидетельствует о росте производительности труда и наоборот. Именно поэтому в формуле данного индивидуального индекса базисное значение t делится на текущее.

При расчете сводного индекса производительности труда в стоимостном выражении (по выработке) необходимо количество продукции, произведенной за каждый период, взвесить по каким-либо ценам, принятым за сопоставимые. В качестве сопоставимых могут выступать цены текущего или базисного периода, какого-либо другого периода или средние цены. Индекс в этом варианте рассчитывается по формуле

Первая часть формулы представляет собой среднюю выработку отчетного периода в стоимостном выражении, вторая – выработку базисного периода.

Произведение индекса производительности труда по выработке и индекса затрат рабочего времени приводит к индексу физического объема продукции, взвешенного по цене:

,

или

Сводный индекс производительности труда (по трудоемкости) рассчитывается по данным о трудоемкости различных видов продукции и объемах их производства:

Знаменатель этого индекса отражает реально имевшие место общие затраты времени на выпуск всей продукции в текущем периода ( ). Числитель представляет собой условную величину, показывающую, какими были бы затраты времени на выпуск этой продукции, если бы трудоемкость не изменилась.

Индекс производительности труда по трудоемкости связан с индексом затрат рабочего времени (труда) и с индексом физического объема продукции, взвешенным по трудоемкости:

,

или

.

Итак, мы рассмотрели расчет агрегатных сводных индексов. Перейдем к изучению средней формы сводных индексов.

Любой сводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов. Однако при этом том форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождествен исходному агрегатному индексу.

Если располагать данными о стоимости проданной продукции в текущем периоде ( ) и индивидуальными индексами цен , полученными, например, в результате выборочного наблюдения, то в знаменателе сводного индекса цен по формуле Пааше можно использовать следующую замену: .

Тогда сводный индекс цен будет выражен в форме средней гармонической из индивидуальных индексов:

,

где в качестве веса выступает товарооборот текущего периода ( ).

При расчете сводного индекса цен по методу Ласпейреса можно использовать среднеарифметическую форму. При этом в числителе производится замена: . Тогда сводный индекс цен примет вид

.