7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение тема №1 метод гаусса исследования и решения систем линейных уравнений

Литература: [3]; [4], [14]; [15], [18].

Основные понятия

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, … , х_n:

(1)

Где числа a_ij (i=1,2, …, m; j=1, 2, …, n) называются коэффициентами системы , а числа b₁, b₂ ,…, b_m – свободными членами.

Матрица

(2)

Называется расширенной матрицей системы (1).

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу матрицы расширенной матрицы системы.

Если r(A)=r(A)=n, то система имеет единственное решение. Если r(A)=r(A)<n, то система имеет бесконечное множество решений.

Рангом r(A) матрицы А называется небольшой размер (порядок) её минора, отличного от нуля.

Ранг матрицы не изменяется при следующих преобразованиях называемых элементарными:

1. Перестановке двух любых строк (столбцов) матрицы;

2. Умножении строки (столбца) матрицы на любое число, отличное от нуля;

3. Сложении двух любых строк (столбцов) матрицы, умноженных на любые, отличные от нуля, числа;

4. Вычёркивании строк (столбцов) матрицы, состоящих из нулей.

Матрицы, полученные одна из другой при помощи конечного числа элементарных преобразований, называются эквивалентными, что обозначается так А ~А^/.

При помощи определённых выше элементарных преобразований, выполняемых только над строками расширенной матрицы А, эту матрицу приводят к ступенчатому (треугольному) виду (прямой ход метода Гаусса):

(3)

При этом r(A)=r(A^|)=k, если существует а^/_ki≠0 ( i=k,,…, n), и r(A)=r(A^|). По полученной матрице А^/ составляют систему уравнений с новыми коэффициентами. Утверждения о том, что полученная система совместна и определена, верны и для системы (1). Решение полученной системы уравнений начинают с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Метод Жордана-Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы (1) может быть приведена к диагональному виду:

(4)

Матрица (4) является расширенной матрицей системы

(5)

Которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе (1).

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (1) несовместны. Если же то система совместна и формулы (5) дают по существу явное выражение для базисных неизвестных х₁,…,х_к через свободные неизвестные х_к+1,…,х_n.

Примеры задач

Пример 1. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы линейных уравнений

Решение. Меняем местами первое и второе уравнения и записываем расширенную матрицу системы. Затем под1 в первом столбце делаем нули. Для этого первую строку умножаем на -6 и прибавляем ко второй строке (складываются соответствующие элементы), первую строку умножаем на 7 и прибавляем к третьей строке, первую строку умножаем на 3 и прибавляем к четвёртой строке:

Делаем нули под -15 во втором столбце. Для этого прибавляем вторую строку к третьей и четвёртой. Так как третья и четвёртая строки состоят из нулей, то вычёркиваем их:

Таким образом, расширенная матрица системы приведена к треугольному (ступенчатому виду) виду. Производим обратный ход метода Гаусса. Записываем систему уравнений с новыми коэффициентами, эквивалентную исходной:

Будем считать базисными переменными х₁ и х₂, а свободными х₃ и х₄. Из второго уравнения:

Подставляем в первое уравнение и выражаем х₁:

Обозначим свободные переменные х₃=с₁ и х₄=с₂, получаем общее решение системы в виде

Пример 2. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы линейных уравнений

Решение. Записываем расширенную матрицу системы. Затем умножаем первую строку на -1 и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибавляем к третьей:

Умножаем вторую строку на -2 и прибавляем к третьей:

Таким образом, расширенная матрица системы приведена к треугольному (ступенчатому) виду. Производим обратный ход метода Гаусса. Записываем систему уравнений с новыми коэффициентами, эквивалентную исходной:

Замечаем, что третье уравнение системы не имеет решений, поэтому система несовместна (не имеет решений).

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение систем:

а) , б)

в) , г)

Форма отчетности: краткий реферат с решением задач, который представляется по ходу изучения программы курса математике и решение задач на ЭВМ в курсе лабораторных работ по математике.

ТЕМА №2

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ.

Литература: [3]; [8], [14], [15], [19].

Основные понятия

Каждая прямая на плоскости хОу определяется линейным алгебраическим уравнением с двумя неизвестными. И обратно: каждое линейное алгебраическое уравнение с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

Перечислим виды уравнений прямой на плоскости.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b. (6)

Здесь k – угловой коэффициент прямой; k=tgα, где α – угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox ; b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

2. Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0. (7)

Здесь А, В и С – постоянные коэффициенты, причем А и В не обращаются одновременно в нуль, т.е. А² +В² ≠ 0.

Частные случаи этого уравнения:

а) Ах + Ву = 0 (С = 0) – прямая проходит через начало координат;

б) Ах + С = 0 (В = 0) – прямая параллельна оси Оу;

в) Ву + С = 0 (А = 0) – прямая параллельна оси Ох;

г) Ах = 0 (В = С = 0) – прямая совпадает с осью Оу;

д) Ву = 0 (А = С = 0) – прямая совпадает с осью Ох.

3) Уравнение прямой в отрезках:

(8)

Здесь a и b – длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно (рис. 1).

Рис. 1

4) Уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀ (x₀ , y₀ ) в данном направлении:

(9)

Здесь (α –угол , образуемый прямой с положительным направлением оси Ох).

5) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), где у₁≠у₂ и х₁≠х₂:

(10)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

(11)

Если х₁=х₂, то уравнение прямой имеет вид х=х₁; а если у₁=у₂, то у=у₁.

6) Нормальное уравнение прямой:

(12)

Здесь р-длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую; α-угол, который образует этот перпендикуляр с положительным направлением оси Ох (рис.2).

y

p

α

x

O

Рис.2

Общее уравнение прямой (7) можно преобразовать в нормальное (12) путём умножения на нормирующий множитель где знак перед дробью выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Под углом между двумя прямыми на плоскости понимается наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми.

Если прямые L₁ и L₂ заданы уравнения с угловыми коэффициентами и , то угол между ними вычисляется по формуле

(13)

Условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид

к₁=к_2, (14)

а условие их перпендикулярности:

или к₁·к₂=-1). (15)

Если прямые заданы общими уравнениями А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0, то величина угла между ними вычисляется по формуле

(16)

Условие параллельности имеет вид

(или А₁В₂-А₂В₁=0), (17)

А условие их перпендикулярности

А₁А₂+В₁В₂=0. (18)

Для нахождения общих точек прямых L₁ и L₂ необходимо решить систему уравнений

или (19)

При этом:

Если то имеется единственная точка пересечения прямых;

Если , то прямые параллельны, т.е. не имеют общих точек;

Если , то прямые совпадают, т.е. имеют бесконечное множество общих точек.

Расстоянием от точки М₀(х₀,у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Это расстояние определяется по формуле

(20)

Если прямая задана нормальным уравнением (12), то

(21)

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение прямой 4x-3y+12=0 представить в различных видах: с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормального уравнения.

Решение. Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом разрешим данное уравнение относительно у , получим - это уравнение прямой с угловым коэффициентом , b = 4 – ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Для получения уравнения прямой в отрезках перепишем его в виде и разделим обе части уравнения на -12, в результате получим - уравнение прямой в отрезках, где a = -3,b = 4 – координаты пересечения прямой с осью Ox и Oy соответственно. Приведём исходное уравнение к нормальному виду (12). Для этого умножим обе части данного уравнения на нормирующий множитель (µ<0, так как С=12>0). В итоге получим нормальное уравнение , где cos , sin , - расстояние от точки О(0, 0) до прямой.

Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(0 , 2) и В(-3, 7).

Решение. Используем уравнение (10). Полагая в нем

х₁ =0, х₂ =-3, у₁ =2, у₂ =7, получим , т.е. -3у+6=5х или 5х + 3у – 6 = 0.

Пример 3. Найти угол между прямыми и .

Решение. Воспользуемся формулой (16), подставив в нее А₁ = 2, В₁ = -3, А₂ = 5, В₂ = -1, получим , .

Пример 4. Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0 и х+2у-9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.

Решение. Найдем сначала точку М пересечения данных прямых. Для этого решим систему уравнений:

Получаем М(1,4) – точка пересечения этих прямых. Угловой коэффициент прямой 2х+у+6=0 k₁ = -2, следовательно угловой коэффициент прямой, параллельно данной k₂ =k₁ = -2. Запишем уравнение искомой прямой. По формуле (9) получаем у-4=-2(х-1), т.е. 2х+у-6=0.

Пример 5. Найти расстояние между параллельными прямыми 3х+4у-20=0 и 6х+8у+5=0.

Решение. Возьмём на первой прямой произвольную точку А. Пусть, например, х=0, тогда у=5, т.е. А(0,5). По формуле (20) найдем расстояние от точки до второй прямой, получим:

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1) Доказать, что условие принадлежности трех точек М₁ (х₁ , у₁ ), М₂ (х₂ , у₂ ) и М₃ (х₃ , у₃ ) одной прямой можно записать в виде:

2) Решить задачи [5], №№ 215, 227, 234, 266, 312, 322.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.