1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)

№

п/п

Разделы дисциплины

Лекции

(часы)

Практ. занятия

(часы)

1.

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Системы линейных уравнений

Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства. Понятие об определителе n-го порядка и его вычисление. Матрицы и действия над матрицами. Обратная матрица. Системы линейных уравнений (основные определения). Системы двух и трех линейных уравнений и ее решения. Метод Гаусса.

6

6

2.

Векторная алгебра

Векторы. Линейно-независимые системы векторов. Базис, разложение вектора по базису. Трехмерное пространство. R³. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат. Скалярное произведение векторов и их свойства. Длина вектора, угол между двумя векторами. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Векторное произведение векторов, его свойства. Выражение векторного и смешанного произведений векторов в прямоугольной системе координат.

6

4

3.

Аналитическая геометрия

Плоскость и прямая в пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку, через три данные точки, в отрезках. Отклонение и расстояние точки до плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнение прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через две точки, в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

4

6

4.

Линейные операторы. Квадратичные формы

Понятие о линейном векторном пространстве Rⁿ. Евклидово n-мерное пространство. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R² и R³. Собственные векторы. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду.

2

2

5.

Кривые и поверхности второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду. Параллельный перенос и поворот осей координат. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы, параболы. Геометрические формы эллипса, гиперболы, параболы. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.

4

4

6.

Введение в математический анализ

Множества вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани множеств. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Функции одной действительной переменной. Область определения. Способы задания функций. Основные элементарные функции. Классификация функций. Понятие предела функции. Предел функции в точке. Признаки существования пределов. Свойства функций, имеющих предел. Первый замечательный предел. Число e. Второй замечательный предел. Бесконечно малые функции и их связь с бесконечно большими функциями. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов. Непрерывность функций. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведений и частного. Непрерывность обратной и сложной функции. Непрерывности элементарных функций. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

8

12

7.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие о производной функции одной действительной переменной. Ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость функции в одной точке. Правила дифференцирования. Непосредственное вычисление производных элементарных функций. Производная сложной функции, заданной параметрически. Производные обратных тригонометрических функций. Производные гиперболических функций. Таблица основных формул дифференцирования.

Дифференциал функции и его свойства. Геометрический смысл первого дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение первого дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление по формуле Тейлора функций e^x, sinx, cosx, ln(x+1), (1+x)^m. Приложение формулы Тейлора. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Численное дифференцирование.

8

10

8.

Исследование функций с помощью производной

Возрастание и убывание функций. Точки экстремума. Необходимое условие и достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты графика функций. Общая схема исследования функций и построение их графиков. Приближенное решение нелинейных уравнений вида f(x)=0 итерационными методами. Метод хорд. Метод Ньютона.

4

6

9.

Неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Правила интегрирования. Интегрирование по частям и подстановкой.

Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование дифференциальных биномов.

Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

6

10

10.

Определенный интеграл

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям. Замена переменной в определенном интеграле. Методы приближенного вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона. Геометрические приложения определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых и объемов тел. Физические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы: с бесконечными пределами и от неограниченной подынтегральной функции. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Теоремы сравнения.

6

12