В.А. Шаруда задача о сдвиговом воздействии на нелинейное упругое полупространство

Получено приближенное решение одномерной нелинейной задачи теории упругости о сдвиговом ударе по полупространству. Использован метод сращиваемых асимптотических разложений. В качестве малого параметра используется отношение скорости движения границы к скорости звука в недеформированной среде. Положение граничной плоскости и поверхностей разрывов уточняется на каждом шаге последовательных приближений

Задача о нормальном ударе по нелинейному упругому полупространству рассматривалась в [1]. Ударные волны в упругой среде изучались в [2, 3]. Методы возмущений, позволяющие учесть нелинейность воздействия, рассмотрены в [4, 5].

1. В рамках пятиконстантной модели динамическое деформирование изотропной упругой среды в прямоугольной системе в переменных Эйлера и в предположении, что из компонент тензора градиента перемещений отличны от нуля только и , может быть описано уравнениями:

В этих уравнениях сохранены члены не более второго порядка малости по и . Здесь - константы, связанные с постоянными материала, G₀-скорость звука в соответствующей линейной ненапряженной среде.

Пусть, начиная с момента времени t=0, точки границ недеформированного упругого полупространства движутся, вследствие внезапно приложенной нагрузки, по закону где -некоторая гладкая функция При этом нормальная компонента тензора напряжений на границе остается равной нулю.

Передним фронтом объемных деформаций будет ([2, 3]) продольная ударная волна, распространяющаяся в среде со скоростью G₁, а передним фронтом сдвиговых деформаций является квазипоперечная ударная волна, распространяющаяся со скоростью G₂<G₁. Для этих скоростей можно выписать следующие соотношения:

Краевые условия задачи о сдвиговом ударе, представляющие оговоренные условия нагружения полупространства и условия непрерывности перемещений на поверхностях разрывов можно записать в виде:

(1.4)

(1.5)

Деформирование среды происходит в двух зонах. В зоне I, между границей полупространства и передним фронтом сдвиговых деформаций, распространяющимся со скоростью присутствуют как сдвиговые, так и объемные деформации. G₂ Движение описывается уравнениями (1.1). В зоне II, между продольной и квазипоперечной волнами, происходит только объемное сжатие. Перемещение находится из первого уравнения (1.1), в котором следует положить v=0.

2. Переходя к безразмерным переменным по формулам

уравнения (1.1) и условия (1.4) перепишутся в виде

Будем считать ε малой величиной и искать решение уравнений (2.1) в виде степенного ряда по степеням ε. Отметим сингулярность задачи, поскольку краевые условия на поверхности разрывов не могут быть выполнены. Это говорит о том, что уравнения (2.1) с условиями (2.2) описывают деформирование среды лишь в области, близкой к границе.

Для нахождения решения задачи вблизи ударной волны вводится новый масштаб пространственной переменной. Если положить и учесть (1.2) и (1.3), уравнения (1.1) и краевые условия (1.5) для зоны II запишутся в виде

(2.4)

В зоне II при s=0 должно выполняться равенство

(2.5)

с краевыми условиями (2.4). Последнее краевое условие (1.5) используется для «склейки» разложения решений задачи в I и II областях. Решение задачи в области II раскладывается в ряд по чётным степеням ε.

Обычная процедура метода последовательного нахождения разложений для краевых задач (2.1)-(2.5) и сращивания полученных разложений по методу Ван-Дайка на каждом шаге позволяет получить приближенное решение исходной задачи в следующем виде

Для частного случая функции нагружения вычислим продольное перемещение в точках, близких к граничной плоскости, при х=0

Квадратный трехчлен, стоящий в скобках положителен, т.к. его дискриминант

и β<0. Поскольку при постановке задачи считалось, что а₂<0, что имеет место для большинства материалов, то при t>0. Это означает, что имеет место эффект «выпучивания» среды в результате только сдвигового воздействия.

Литература

1. Буренин А.А., Шаруда В.А. Одномерный переходный волновой процесс деформации при ударном нагружении упругого полупространства. – Изв. АН. СССР, МТТ, 1984, №1, с. 40-44.

2. Буренин А.А.,Чернышов А.Д. Ударные волны в изотропном упругом пространстве. – ПММ, 1978, т. 42, вып. 4, с. 711-717.

3. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Исследование ударной адиабаты квазипоперечных ударных волн в предварительно напряжённой упругой среде. – ПММ, 1982. Т. 46, вып. 5, с. 831-846.

4. Найфэ А. Методы возмущений. –М.: Мир, 1976. – 455 с.

5. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. –М.; Мир, 1972, - 275 с.

Воронежский государственный технический университет

УДК 620.178.163