В.И. Ряжских, а.В. Ряжских, в.А. Рябцев моделирование методом конечных элементов температурного поля тонкой пластины с отверствиями

Получена вариационная формулировка краевой задачи о температурном поле изотропной пластины с двумя отверстиями при отсутствии теплоотдачи на поверхностях. Дискретизация формы пластины проведена методом конечных элементов (МКЭ). Функционал задачи минимизировался методами градиентного и покоординатного спуска

Н а основе уравнения стационарной теплопроводности получена вариационная формулировка краевой задачи о температурном поле тонкой плоской изотропной пластины при отсутствии теплоотдачи на поверхностях. Подобные пластины используются в пластинчатых теплообменниках. Дискретизация формы пластины проведена с использованием метода конечных элементов (МКЭ). Функционал задачи минимизировался методами градиентного и покоординатного спуска.

У

Рис. 1. Пластина и конечный элемент

равнение стационарной теплопроводности пластины в системе координат , имеет вид [1]

, (1)

где - абсолютная температура; ; ; ; ; -оператор Лапласа.

Пусть - область, занятая срединной плоскостью пластины в системе (рис. 1,а), -открытое множество, а - граница . Пусть на задана температура , на теплопередача отсутствует.

Если - нормаль к , то граничные условия имеют вид

; ; на . (2)

Энергетическая норма , порожденная оператором

, (3)

где

, ;

- элемент длины ; - температура на ; , ; -координата центра окружности радиуса .

Вследствие условий Неймана . В общем случае .

Пусть -гильбертово пространство и . Величина является энергетической нормой , не равной тождественно нулю всюду в и удовлетворяющей граничному условию . Согласно [1] §8, оператор является положительным в . Существование единственного решения для задачи Дирихле при неоднородном краевом условии доказано в [1] §25. Если функция удовлетворяет (1) и (2), то она минимизирует .

Для проведения вычислений производится дискретизация области методом конечных элементов. Используется простейший треугольный элемент с узлами в вершинах (рис. 1,б) [2].

Пусть -температура в узлах КЭ с локальными но-

мерами 1,2,3, соответствующими глобальным номерам узлов , а -матрица-столбец. Температура в точке с координатами и представляется в виде линейной комбинации по и

, где

- функции формы (естественные координаты [2]) КЭ; -площадь КЭ; ; . ; . Прочие величины, входящие в остальные функции формы, определяются по приведенным формулам методом циклической перестановки.

Пусть -область, занятая КЭ. Вклад КЭ в величину

.

Пусть - матрица для КЭ. Тогда

, (4)

Поскольку , - постоянные и , .

Пусть , -номер КЭ, и -количества КЭ и узлов КЭ в , а - матрица- столбец узловых температур для всей . Тогда при замене системой КЭ заменяется функционалом , где -матрица типа для всей .

Если - матрицы координат узлов КЭ, то вклад КЭ, стороны которых аппроксимируют контуры отверстий , в

.

Пусть -номер КЭ, расположенного около контура отверстия, -количество таких КЭ, , -матрица типа для всего множества таких КЭ, тогда , заменяется конечной суммой , а - суммой

.

Пусть принадлежит к -мерному банахову пространству. Вариация в точке [3] .

В данном случае

.

Поскольку симметрична, и - скаляр,

.

Производная Гато [3] и вектор- градиент функционала в точке по определяются выражениями

, .

Поскольку положительно определенная матрица, вторая вариация по положительна, выпукл по и, поэтому, имеет локальный минимум в . При минимизации по методом проектирования градиента матрица явно не вычислялась, а и определялись на основании (4). Это дало возможность решать задачи с количеством КЭ порядка сотен даже на обычных ПЭМ.

Рассмотрена тонкая пластина прямоугольной формы (рис. 1,в) с отверстиями для труб теплообменников ( = 100 мм, = 100 мм, = 50 мм, = 50 мм. Вследствие симметрии тепловых потоков относительно оси у рассмотрена только правая часть пластины, разбиение которой на 224 КЭ и значения температуры пластины в некоторых узлах показаны на рис. 2.

Приняты следующие граничные условия для : = 20К, =290К, на прочих участках границы выполняется условие (на , и теплообмен не учитывался из-за незначительности, а на - вследствие симметрии системы). Вычисления проводились по программе на алгоритмическом языке TurboPascal 7.0. Функционал минимизировался методом градиентного спуска с проектированием градиента на область

Рис. 2

. Вектор градиента на область . Вектор определялся по формуле , где ; - в первом приближении заданная величина и изменяющаяся в процессе вычислений на основе информации о величине и различия направлений и . В качестве начального приближения использовался вектор , удовлетворяющий граничным условиям на , и . Величины температуры во внутренних точках и остальных границах можно задавать в разумных пределах. Вычисления показали, что результат минимизации слабо (в пределах вычислительных погрешностей) зависит от выбора начального распределения температуры - . При начальном = 1 процесс вычислений методом градиентного спуска заканчивается за 100-150 приближений за несколько мин. в режиме диалога. Далее, проводился процесс дальнейшей минимизации функционала методом покоординатного спуска, который, однако, не давал существенных изменений оптимальной температуры (в пределах нескольких процентов).

Вычисление величины оператора задачи во внутренних точках около наружных углов пластины по направлениям, параллельным осям х и у, по конечно –разностным формулам на сетке с шагами и , примерно равными длинам сторон КЭ,

,

показало малые отклонения от нулевого значения.

Баланс потоков тепла через поверхности отверстий и поверхности пластины выполнялся с погрешностью в несколько процентов.

Литература

1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин.- Москва: Издательство Наука, 1970.- 512 с.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Перевод с английского / О. Зенкевич- Москва: Издательство Мир,1975.-542 с.

3. Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин.– Москва: Издательство Наука, 1980.-496 с.

Воронежский государственный технический университет

УДК 539.3:534.1