Применение матричных игр в прикладных задачах
В качестве примера рассмотрим применение матричных игр в маркетинговых исследованиях.
Пример. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учётом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в таблице.
Величина дохода, д.е. |
План продаж |
||
П1 |
П2 |
П3 |
|
К1 |
8 |
4 |
2 |
К2 |
2 |
8 |
4 |
К3 |
1 |
2 |
8 |
Определить оптимальный план продажи товаров.
Решение.
Обозначим вероятности использования
стратегий Кi
через
,
а вероятности применения торговой
фирмой стратегий Пj
через
,
ожидаемый доход – v.
Перейдём
к переменным
,
.
Тогда для первого игрока (конъюнктуры
рынка и спроса покупателей) математическая
модель задачи будет иметь вид:
.
или в каноническом виде:
.
Для второго игрока (торговой фирмы) математическая модель задачи имеет вид:
.
Находим симплекс-методом решение обеих задач.
i |
Базис |
cб |
Р0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
||||
1 |
Р4 |
0 |
1 |
8 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
Р5 |
0 |
1 |
2 |
8 |
4 |
0 |
1 |
0 |
3 |
Р6 |
0 |
1 |
1 |
2 |
8 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
0 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Р1 |
1 |
1/8 |
1 |
1/2 |
1/4 |
1/8 |
0 |
0 |
2 |
Р5 |
0 |
3/4 |
0 |
7 |
7/2 |
-1/4 |
1 |
0 |
3 |
Р6 |
0 |
7/8 |
0 |
3/2 |
31/4 |
-1/8 |
0 |
1 |
4 |
|
|
1/8 |
0 |
-1/2 |
-3/4 |
1/8 |
0 |
0 |
1 |
Р1 |
1 |
3/31 |
1 |
-1/31 |
0 |
4/31 |
0 |
-1/31 |
2 |
Р5 |
0 |
11/31 |
0 |
196/31 |
0 |
-6/31 |
1 |
-14/31 |
3 |
Р3 |
1 |
7/62 |
0 |
6/31 |
1 |
-1/62 |
0 |
4/31 |
4 |
|
|
13/62 |
0 |
-11/31 |
0 |
7/62 |
0 |
3/31 |
1 |
Р1 |
1 |
1/14 |
1 |
0 |
0 |
1/7 |
-1/14 |
0 |
2 |
Р2 |
1 |
11/196 |
0 |
1 |
0 |
-3/98 |
31/196 |
-1/14 |
3 |
Р3 |
1 |
5/49 |
0 |
0 |
1 |
-1/98 |
-3/98 |
1/7 |
4 |
|
|
45/196 |
0 |
0 |
0 |
5/49 |
11/196 |
1/14 |
;
;
.
;
.
Таким
образом, торговая фирма на ярмарке
должна придерживаться стратегии
,
при этом она получит доход не менее
д.е.
Примеры задач, сводимых к матричным играм