5. Расчёт характеристик замкнутой смо с ожиданием.

1. Показатель - показатель загрузки системы, то есть математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное средней длительности обслуживания

2. Вероятность того, что в системе находится требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов: - число обслуживающих каналов; - наибольшее число требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе.

3. Вероятность того, что занято обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы:

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

5. Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):

6. Коэффициент простоя обслуживающего требования (объекта):

7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

8. Среднее число свободных обслуживающих каналов:

9. Коэффициент простоя обслуживающего канала:

Пример. Рабочий обслуживает группу автоматов, состоящую из трёх станков. Интенсивность потока поступающих требовании на обслуживание станков равна Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 12 . Определить среднее число автоматов ,ожидающих обслуживания, коэффициенты простоя автомата и рабочего.

Решение. Обслуживающим каналом здесь является рабочий. Т.к. станки обслуживает один рабочий, то n = 1. Общее число требований не может превзойти числа станков, то есть

m = 3.

Система может находиться в четырёх различных состояниях:

1. все станки работают;

2. один стоит и обслуживается рабочим, а два работают;

3. два стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания;

4. три стоят, из них один обслуживается, а два ждут очереди.

Среднее число автоматов, ожидающих обслуживания:

- вероятность того, что рабочий свободен ( то есть все автоматы работают):

следовательно, в среднем из трёх станков 0,49 станка будут простаивать, пока освободится рабочий.

Коэффициент простоя автомата: то есть каждый станок простаивает примерно 0,16 часть рабочего времени, пока рабочий освободится.

Коэффициент простоя рабочего:

Вопросы для повторения.

1. Система массового обслуживания (СМО). Основные элементы СМО. Классификация СМО.

2. Простой поток заявок и его свойства. Интенсивность потока заявок. Интенсивность движения очереди. Интенсивность потока обслуживания. Интенсивность нагрузки.

3. СМО с отказами. Формулы для установившегося режима.

4. СМО с неограниченным ожиданием. Дисциплина очереди. Абсолютный и относительный приоритет. Формулы для установившегося режима.

5. СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди. Формулы для установившегося режима.

6. Расчёт характеристик замкнутой СМО с ожиданием. Показатель загрузки системы.

Задачи для самостоятельного решения.

1. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается. Определить среднее количество мест, не занятых автомобилями, и вероятность того, что прибывший автомобиль не найдёт на стоянке свободного места.

2. Дежурный по администрации города имеет 5 телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин. Определить показатели дежурного администратора как объекта СМО.

3. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин. Определить вероятность того, что клиент получит отказ, будет обслужен, а также среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течение 1 ч, и среднее число занятых мастеров.

4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеется 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.

5. В службе «Скорой помощи» посёлка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 минуты. Определить основные показатели работы службы «Скорой помощи» как объекта СМО и рассчитать, сколько потребуется телефонных аппаратов, чтобы удовлетворить не менее 90 % поступающих вызовов врачей.

6. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин. Определить характеристики

работы автозаправочной станции как объекта СМО.