- •Методические указания и контрольные задания
- •Характеристика задания
- •Решение типового варианта задания
- •1. Числовые ряды
- •2. Положительные ряды
- •3. Знакочередующиеся ряды
- •4. Функциональные и степенные ряды
- •5. Ряды Маклорена и их приложения
- •6. Ряды Фурье
- •7. Применение рядов Фурье
- •Задания к типовому расчёту № 6 по теме «ряды»
- •Библиографический список литературы
- •Оглавление
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
5. Ряды Маклорена и их приложения
Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать на интервалах их сходимости. Кроме того, каждую функцию, сколь угодно раз дифференцируемую в нуле, можно разложить на некотором промежутке вида в степенной ряд Маклорена
. (17)
при условии, что дополнительный член в формуле Маклорена стремится в каждой точке этого промежутка к нулю при (см., например, [4]). Равенство (17) может оказаться справедливым и в граничных точках интервала (в одной или обеих). Отметим, что критерием разложимости функции на промежутке произвольного вида в ряд Маклорена является выполнение в каждой точке этого промежутка уже упомянутого условия .
Приведем табличные разложения некоторых основных элементарных функций (в скобках указан промежуток сходимости):
, (18)
, (19)
, (20)
, (21)
, (22)
. (23)
Для приближенного вычисления значения функции в точке берут сумму слагаемых в ряде Маклорена (17) (в предположении, что он сходится в точке к ), полагая
, (24)
при этом сумма остатка ряда (погрешность) имеет вид
( при или при ). (25)
За счет выбора номера достигается выполнение условия и, следовательно, приближенное значение функции получается с точностью до .
В случае если ряд в формуле (17) оказывается знакочередующимся, проще воспользоваться оценкой (14).
Разлагая подынтегральную функцию или решение задачи Коши в ряд Маклорена, можно вычислять интегралы или решать дифференциальные уравнения.
Приведем образцы решения соответствующих примеров из типового расчета № 6.
Пример 12. Разложить функцию в ряд Маклорена.
Подставив в табличное разложение по формуле (18) вместо выражение , получим:
, отсюда
, и, наконец, при делении на все степени у ряда справа понизятся на единицу:
.
Замечание. Данная функция в нуле не определена и непосредственно по формуле Маклорена (17) ее разложить нельзя. Полученный с помощью формулы (18) ряд сходится к данной функции во всех точках, кроме . Если доопределить исходную функцию в нуле по непрерывности, положив ее значение равным , то ряд в ответе будет сходиться к этой продолженной функции на всей числовой оси.
Пример 13. Найти функцию, соответствующую ряду Маклорена
.
Заменяя на в приведённом равенстве, проинтегрируем его в пределах от до (так как радиус сходимости ряда равен 1). В результате получим
Получили бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем , ее сумму при можно найти по формуле . Чтобы получить , надо продифференцировать найденную сумму: .
Пример 14. Вычислить число с точностью до 0,001.
Возьмем в разложении (18) функции в ряд Маклорена слагаемое, и пусть
,
тогда по формуле (25) , если и если (любая производная от равна самой функции ). Полагая теперь , получим:
,
где , . Так как - возрастающая функция, то , кроме того, известно, что . Следовательно, . За счет выбора достаточно большого добьемся, чтобы выполнялось неравенство . При величина , но уже при .
Следовательно, с точностью до 0,001
.
Отметим, что естественно проводить все вычисления с точностью до 0,001.
Пример 15. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001.
В силу первого замечательного предела доопределим подынтегральную функцию в нуле значением единица, тогда наш интеграл от функции, непрерывной на отрезке , существует и, кроме того, доопределённую таким образом подынтегральную функцию можно разложить в ряд Маклорена (см. замечание к примеру 12), используя табличное разложение (19):
,
,
.
Замечание. Мы воспользовались формулой (14), учитывая, что как только в знакочередующемся ряде, удовлетворяющем условия признака Лейбница, встретилось первое слагаемое , по модулю меньше 0,001, то, начиная с него, можно отбросить остаток ряда, первым членом которого является это слагаемое, так как сумма этого остатка в силу оценки (14) по модулю тоже меньше 0,001.
Пример 16. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши , (предполагается, что такое разложение существует).
Воспользуемся разложением решения нашей задачи Коши в ряд Маклорена:
.
Из начального условия . Подставив в правую часть дифференциального уравнения , , получим . Для того, чтобы найти вторую производную, продифференцируем обе части исходного дифференциального уравнения по , при этом производную от находим по правилу дифференцирования сложной функции: ; подставив сюда , и найденное на предыдущем шаге значение , получим . Наконец, подставив найденные значения в ряд Маклорена, получим:
.
Замечание. Если некоторые из коэффициентов разложения решения в ряд Маклорена обратятся в нуль, то нужно продолжить процесс, продифференцировав выражение для второй производной и вычислив значение третьей производной в нуле. Повторяем это до тех пор, пока не наберется три отличных от нуля коэффициента.
Пример 16*. Решить задачу Коши , , .
Решение будем искать в виде степенного ряда:
Так как и , то
.
Найдем:
,
.
Подставив и в исходное уравнение, получим:
Считая левую часть разложением нуля в ряд Маклорена (для которого все коэффициенты равны нулю), приравниваем коэффициенты при равных степенях: , , , … .
В общем случае, отметив, что у слагаемых со знаком минус индекс коэффициента на единицу меньше показателя степени , в частности при будет коэффициент , получим: .
Это дает рекуррентную формулу
(при ),
которая показывает как связаны коэффициенты при увеличении номера на 3 единицы.
Так как , то
и .
, , … ,
( ).
Следовательно, решение задачи Коши можно задать в виде степенного ряда:
.
Легко видеть, что радиус сходимости полученного ряда .