- •Методические указания и контрольные задания
- •Характеристика задания
- •Решение типового варианта задания
- •1. Числовые ряды
- •2. Положительные ряды
- •3. Знакочередующиеся ряды
- •4. Функциональные и степенные ряды
- •5. Ряды Маклорена и их приложения
- •6. Ряды Фурье
- •7. Применение рядов Фурье
- •Задания к типовому расчёту № 6 по теме «ряды»
- •Библиографический список литературы
- •Оглавление
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
3. Знакочередующиеся ряды
Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда
(11)
выполнен необходимый признак сходимости
, (12)
начиная с некоторого номера члены ряда убывают по абсолютной величине
, (13)
то ряд (11) сходится, при этом остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из слагаемых остатка:
. (14)
Проверка условия (13) иногда затруднительна. Возможен другой путь: рассмотреть ряд , составленный из абсолютных величин членов изучаемого знакочередующегося ряда, применить к нему соответствующий достаточный признак сходимости для положительных рядов, и если этот ряд сходится, то отсюда вытекает сходимость исходного знакочередующегося ряда (11).
Наконец, напомним, что числовой ряд с членами произвольных знаков называется абсолютно сходящимся, если он сходится вместе с рядом , составленным из абсолютных величин его членов (сходимость ряда следует из сходимости ряда ), и условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость рекомендуется начинать с изучения ряда на абсолютную сходимость.
Приведем образцы решений соответствующих примеров из типового расчета № 6.
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .
Воспользуемся признаком Лейбница:
. Проверим, что :
.
Так как выполнен необходимый признак сходимости и члены ряда убывают по абсолютной величине, то по признаку Лейбница ряд сходится.
Замечание. Второе условие признака Лейбница об убывании членов ряда можно обосновать методами анализа, доказав, что у функции её производная при .
Пример 8. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.
Рассмотрим ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применим к нему радикальный признак Коши:
.
Ряд из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, следовательно, сам ряд тоже сходится. Поэтому исходный знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся.
4. Функциональные и степенные ряды
Областью сходимости функционального ряда называется множество всех , при которых сходятся соответствующие числовые ряды.
Важную роль играют степенные ряды
, (15)
о сходимости которых известно следующее: если ряд сходится не при всех и не только при , то существует такое положительное число , называемое радиусом сходимости ряда, что ряд (15) сходится при и расходится при . Радиус сходимости может быть найден по формулам
, , (16)
если пределы, фигурирующие в этих формулах, существуют.
Если ряд (15) сходится при всех , то полагают . Если же ряд (15) сходится только при , то полагают . Формулы (16) для нахождения радиуса сходимости ряда применимы и в этих случаях, с той лишь оговоркой, что во второй из них соответствует случаю , а соответствует случаю .
Замечание 1. Отметим, что в случае интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (15).
Замечание 2. Заметим ещё, что в случае в граничных точках и интервала сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться. В каждой из этих точек нужно проводить дополнительное исследование, т.е. нужно исследовать сходимость числовых рядов и
Рассмотрим задания из типового расчета № 6 на определение области сходимости.
Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда .
Так как функции , то можно применить радикальный признак Коши: . В силу свойств функции при и при таких ряд сходится. Кроме того, на границе области сходимости при исходный ряд превращается в числовой ряд , и в этой точке ряд расходится. Следовательно, область сходимости данного ряда есть интервал .
Пример 10. Определить область сходимости степенного ряда .
Найдем радиус сходимости по первой из формул (16):
.
Итак, при ряд сходится.
Исследуем теперь сходимость данного ряда на границе его интервала сходимости. При получается ряд , который расходится (это табличный ряд, получающийся из формулы (6) при ). При получается знакочередующийся ряд , для которого выполнены оба условия признака Лейбница: поэтому этот ряд сходится. Следовательно, область сходимости изучаемого степенного ряда есть промежуток .
Пример 11. Найти область сходимости степенного ряда .
Сделав замену переменной , получим степенной ряд . Вычислим радиус сходимости полученного ряда по второй из формул (16):
.
В граничных точках интервала сходимости общие члены соответствующих числовых рядов не стремятся к нулю при , и потому эти ряды расходятся. Следовательно, ряд сходится только при . Для нахождения области сходимости исходного ряда остаётся решить неравенство :
Следовательно, область сходимости исходного ряда есть интервал .