Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

РЯДЫ

Методические указания и контрольные задания

к курсу математики

для студентов 2-го курса всех специальностей

В оронеж 2012

УДК 512.64+517(07)

ББК 22.143+22.151.5+22.161я7

Составители А.Б. Кущев, А.А. Ларин

Ряды: метод. указания и контрольные задания к курсу математики для студентов 2-го курса всех специальностей / Воронежский ГАСУ; сост.: А.Б. Кущев, А.А. Ларин. – Воронеж, 2012. – 43 с.

Приводятся образцы решений задач по темам “Ряды” и “Уравнения математической физики”. Даны ссылки на литературу, которой можно пользоваться при подготовке к экзамену и выполнении контрольных работ.

Предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей.

Ил.:3. Библиогр.: 4 назв.

УДК 512.64+517(07)

ББК 22.143+22.151.5+22.161я7

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского ГАСУ

Рецензент – П.А. Головинский, д. ф.-м. н., проф. кафедры физики и химии Воронежского ГАСУ

Характеристика задания

Вам приходилось находить значения и других основных элементарных функций, вводя аргумент в калькулятор и мгновенно получая ответ. Это стало возможным благодаря красивой идее заменить функцию степенным рядом, взяв достаточно много слагаемых которого, можно вычислить приближенное значение функции с помощью многочлена. Благодаря рядам стало возможным взять «неберущиеся» интегралы и проинтегрировать ранее не поддающиеся решению дифференциальные уравнения; в ряде Фурье, описывающем колебание струны, увидеть слышанные не раз обертоны, дающие окраску звука; получить другие изящные приложения.

Данное методическое указание содержит как необходимый теоретический материал, так и решение основных типов примеров по теме «Ряды».

Каждый вариант контрольного задания содержит 18 примеров (для магистрантов предлагаются более сложные примеры того же типа под тем же номером, но со «звездочкой»), из них первые восемь – на исследование сходимости числовых рядов; следующие восемь примеров – на нахождение области сходимости функциональных, в том числе степенных рядов и приложения последних; наконец, последние два примера - на ряды Фурье и их применение для решения уравнений математической физики.

Решение типового варианта задания

1. Числовые ряды

Напомним основные признаки сходимости числовых рядов, сферу их применимости и разберем соответствующие примеры.

Числовой ряд

(1)

называется сходящимся, если предел его частичных сумм

(2)

существует и является конечным числом. Само число при этом называется суммой ряда, и пишут придавая тем самым символу числовой смысл.

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд (1) сходится, то общий член ряда стремится к нулю при :

. (3)

Необходимый признак не является достаточным и применяется для доказательства расходимости.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Применим необходимый признак сходимости:

.

Необходимый признак не выполнен, следовательно, ряд расходится.

Пример 1*. Исследовать на сходимость ряд .

Применим необходимый признак сходимости:

.

Необходимый признак не выполнен, следовательно, ряд расходится. Отметим, что мы воспользовались вторым замечательным пределом .