§ 2. Дифференциальные уравнения высших

ПОРЯДКОВ

2.1. Дифференциальные уравнения второго

ПОРЯДКА

Уравнение

, (2.1)

связывающее между собой независимую переменную, неизвестную функцию , а также ее первые две производные и , называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Если уравнение можно записать в виде

, (2.2)

то говорят, что оно разрешено относительно второй производной.

Задача отыскания решения уравнения (2.2), удовлетворяю-

щего заданным начальным условиям ,

где - некоторые числа называется задачей Коши.

Решением уравнения (2.2) называется всякая функция , которая при подстановке вместе с и в это

уравнение обращает его в тождество. График функции в этом случае называется интегральной кривой.

Общим решением уравнения (2.2) называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных и и такая, что:

1. она является решением этого уравнения при любых конкретных значениях и

2. при любых допустимых начальных условиях

(2.3)

можно подобрать такие значения постоянных и , что функция будет удовлетворять этим начальным условиям.

Любая функция , получающаяся из общего решения уравнения (2.2) при конкретных значениях постоянных и , называется частным решением этого уравнения.

Для дифференциального уравнения второго порядка имеет место теорема существования и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме для уравнения первого порядка.

Теорема. Если функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области , содержащей точку с координатами , то существует и притом единственное решение уравнения (2.2), удовлетворяющее начальным условиям .

Общий интеграл или общее решение

уравнения (2.2) представляет собой семейство

кривых, зависящих от двух произвольных постоянных

и . Задача Коши в таком случае состоит в определении интегральной кривой , проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент касательной, т.е.

2.2. Понижение порядка дифференциальных

УРАВНЕНИЙ

В некоторых частных случаях удается понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка. Зачастую оно в итоге приводится к дифференциальному уравнению первого порядка одного из изученных ранее типов. Рассмотрим наиболее типичные случаи.

Уравнения вида .

Интегрированием обеих частей уравнения оно приводится к уравнению первого порядка

Повторно интегрируя полученное равенство, находим общее решение исходного уравнения:

Дифференциальные уравнения , явно не содержащие искомой функции

Такие уравнения допускают понижение порядка подстановкой , т.е. данное уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальные уравнения , явно не содержащие независимой переменной .

Уравнения такого вида допускают понижение порядка подстановкой т.к. формальное отсутствие аргумента позволяет считать неизвестную функцию функцией аргумента , тогда

.

Таким образом, уравнение равносильно системе

Интегрирование дифференциальных уравнений порядка выше второго.

Приемы, описанные выше, можно распространить на уравнения более высокого порядка.

Общее решение простейшего дифференциального уравнения -го порядка находится -кратным интегрированием функции и содержит произвольных постоянных.

Дифференциальное уравнение вида

не содержащее в явном виде искомой функции , допускает понижение порядка подстановкой Другими словами, данное уравнение равносильно системе

Дифференциальное уравнение вида , не содержащее явно аргумент , допускает понижение порядка на единицу подстановкой . При этом (по правилу дифференцирования сложной функции):

и т.д.

Задача 2.1. Найти частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Решение. Находим общее решение. Интегрируя по частям, находим =

Повторное интегрирование по частям приводит к общему решению:

С учетом заданных начальных условий, получаем систему уравнений для определения неизвестных констант и

Найденные значения постоянных подставляем в общее решение. Получаем искомое частное решение

Задача 2.2. Решить дифференциальное уравнение Найти частное решение, если

.

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно искомую функцию , т.е. имеет вид . Положим , тогда . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка - линейное относительно неизвестной функции . Общее решение этого уравнения найдем подстановкой , . Получаем:

тогда Из первого уравнения находим , т.е. Подставляя во второе уравнение, получим , откуда Следовательно, , т.е. . Интегрируя это равенство, найдем общее решение исходного уравнения

.

Подставляя в два последних равенства начальные условия , получаем

Найденные значения и подставляем в общее решение. Отсюда искомое частное решение

Задача 2.3. Найти общее решение дифференциального

уравнения . Найти частное решение, удовлетво-

ряющее начальным условиям

Решение. Данное дифференциальное уравнение не содержит в явном виде аргумента , т.е. имеет вид . Примем в качестве независимой переменной и выполним замену Тогда , а исходное уравнение принимает вид: Если , то , и После сокращения на решим дифференциальное уравнение первого порядка . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим

,

откуда (заметим, что найденное ранее решение

содержится в полученном выражении при ). Заменим на и решим уравнение , которое также является уравнением с разделяющимися переменными: , или Получили общее решение исходного уравнения с неявном виде. Из начальных условий имеем или , а из равенства , находим . Подставляя полученные значения констант в общее решение, которое запишем в виде , находим требуемое частное решение .

Задача 2.4. Найти общее решение дифференциального уравнения третьего порядка

Решение. Это простейшее дифференциальное уравнение решается трехкратным интегрированием правой части. Сначала понизим степень косинуса:

После первого интегрирования получаем

после второго

а после третьего – общее решение

Замечание. Произведение произвольных постоянных на конкретные числа также можно считать произвольными постоянными. Например, в общем решении можно писать вместо

Задача 2.5. Решить дифференциальное уравнение четвертого порядка

Решение. Это уравнение имеет вид , поэтому его порядок можно понизить на три единицы при помощи замены Приходим к уравнению . Рассмотрим два случая:

1. если , т.е. , то - не общее решение;

2. если , то . Отсюда получаем

или Последовательные интегрирования дают

к которому присоединим полученное ранее не общее решение

Задача 2.6. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Данное уравнение имеет вид , т.е. не содержит явно и Поэтому положим Получаем линейное относительно неизвестной функции уравнение Его общее решение имеет вид Остается решить простейшее дифференциальное уравнение Подставив из начальных условий находим Интегрируя получающееся равенство , имеем Снова подставляя начальные условия находим . Значит, Отсюда учитывая, что , т.е. получим и следовательно, .

Найти общие решения данных дифференциальных уравнений, а там, где указаны начальные условия, найти соответствующее частное решение:

1. 2.

3. 4.

5.

6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

22. 23.

24. 25.

26.

27.

28. 29.

30. 31.

32. 33.

Ответы: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. и 20.

21. 22. .

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления / Н.С. Пискунов.- М.: Наука, 2001.Т.2.- 576 с.

2. Агафонов С.А. Дифференциальные уравнения / С.А. Ага-

фонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова. - М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана, 2000.-348 с.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: «Оникс 21

век» «Мир и образование», 2003. Ч. 2.

4. Зимина О.В. Высшая математика / О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова.- М.: Физико-математическая литература, 2001.-368 с.

5. Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов / А.В. Ефимов, Б.П. Демидович; под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука,1986. –Ч.2.-368 с.

6. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс/К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко; под ред. С.Н. Федина. - М.: Айрис-пресс, 2005.-592 с.

7. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике: Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения / А. П. Рябушко и др.; под общ. ред. А. П. Рябушко.- 3-е изд.- Минск.: Выш. шк., 2007.-396 с.