§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Дифференциальные равнения являются математической моделью многочисленных физических, химических, биологических и др. процессов. При составлении дифференциальных уравнений весьма часто используют физические законы, которые описывают соотношение между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Например, в механике – законы Ньютона, в теории электрических цепей – законы Кирхгоффа, в теории скоростей химических реакций – закон действия масс и т.д. Если физический закон протекания процесса неизвестен, то для составления дифференциального уравнения прибегают к гипотезе о линейности процесса “в малом”, т.е., например, считают, что в течение малого промежутка времени ∆t участвующие в процессе величины изменяются с постоянной скоростью. Составляют соотношения между приращениями этих величин и, переходя к пределу при ∆t → 0, получают уравнение, содержащее производную по времени. Дифференциальное уравнение – это как бы “мгновенный снимок процесса” в данный момент времени, интегрируя дифференциальное уравнение, мы по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса в целом.

Задача 1.1. Тело массой падает под действием силы тяжести ( - ускорение свободного падения) и силы сопротивления , пропорциональной скорости , где - коэффициент сопротивления. Найти зависимость скорости движения тела от времени .

Решение. Используя второй закон Ньютона, составим ОДУ, описывающее движение тела:

Имеем ОДУ первого порядка, разрешенное относительно производной , имеющей механический смысл ускорения движения рассматриваемого тела. Можно проверить подстановкой, что решением этого ОДУ является совокупность фунций

, где С - произвольная постоянная. Если в момент времени тело начинает падение с начальной ско-

ростью , то , тогда

Кроме того, это ОДУ имеет, очевидно, решение , к которому стремятся при все решения вне зависимости от значения .

Задача 1.2. Из точки под углом к горизонту бросают с заданной начальной скоростью тело массой так, что оно падает под прямым углом на наклонную плоскость, проходящую через точку и образующую с горизонтом заданный угол . Считая углы и острыми найти угол

Решение. Поместим в точку начало прямоугольной декартовой системы координат (рис.1), направив ось абсцисс вдоль наклонной плоскости. Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения тела имеют вид

Это ОДУ второго порядка, разрешенные относительно старшей производной. Они имеют решение

В решение входят четыре произвольных постоянных Поэтому для выбора из бесконечного множества решений единственного решения, описывающего действительное движение рассматриваемого тела, необходимо использовать сведения о положении и скорости этого тела в начальный момент времени , однозначно определяющие эти произвольные постоянные. Так как при тело находится в начале координат, т.е. , то, из решения получаем . Дифференцируя решение, получаем

С учетом заданного при значения скорости тела имеем .

Подставляя найденные выражения для произвольных постоянных в решение, запишем:

Полученное решение содержит пока еще неизвестное значение угла . Это значение можно найти, приняв во внимание, что тело падает на наклонную плоскость под прямым углом, т.е. в момент падения и проекция скорости тела на координатную ось равна нулю: . Учитывая вид решения, получаем или

, кроме того,

Поскольку по смыслу задачи , то равно нулю выражение в квадратных скобках:

Отсюда после тригонометрических преобразований получаем

или .

Задача 1.3. Человек, находящийся в точке , движется вдоль оси ординат в положительном направлении и тянет тяжелый предмет, расположенный в точке , за веревку постоянной длины (рис.2). Пусть на плоскости в начальный момент времени точка находится в начале координат, а точка имеет координаты . Составим ОДУ траектории точки . Обозначим через уравнение искомой траектории точки . Из условия задачи следует, что является касательной к этой траектории в точке с координатами . Длина отрезка (рис.2) равна , а . Принимая во внимание геометрический смысл производной, т.е. , получаем ОДУ первого порядка , разрешенное относительно производной. Одним из решений этого ОДУ является функция ,которая задает хорошо известную плоскую кривую-трактрису.