1.7. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется дифференциальное уравнение

(1.21)

если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , т.е.

(1.22)

Уравнение (1.21) с учетом (1.22) можно записать в виде , поэтому его общий интеграл имеет вид

Для того, чтобы уравнение (1.21) было уравнением в полных

дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. (1.23)

Функция может быть найдена из системы уравнений

(1.24)

либо по формуле

, (1.25)

где - некоторая фиксированная точка из области непрерывности функций и их частных производных.

Для отыскания из (1.24) интегрируем первое равенство системы по , получим

(1.26)

где - неизвестная функция, которую еще предстоит найти. Дифференцируя по , имеем Используя второе равенство системы (1.24), получим уравнение

Из него определяем и интегрированием находим . Подставляя в (1.26), получим

Замечание. Если условие (1.23) не выполняется для уравнения (1.21), то в ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию , называемую интегрирующим множителем. Интегрирующий множитель легко находится в двух случаях:

1) если выражение зависит только от , то

;

2) если выражение зависит только от , то

.

Задача 1.15. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Преобразуем уравнение к виду

В данном случае . Эти функции непрерывно дифференцируемы в области . Кроме того, Поэтому - полный дифференциал некоторой функции в любой односвязной области , не содержащей точку Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах и может быть записано виде при При этом

(1.27)

Интегрируя первое равенство по , получим, что при

где - неизвестная функция. Дифференцируя по , имеем

Используя второе равенство (1.27), получим

После преобразований имеем Отсюда , и, следовательно, или

Ответ. Общий интеграл имеет вид

или

Задача 1.16. Решить уравнение

Решение. , а

т.е. Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах и, значит, имеет вид , где Отсюда т.е.

. (Функцию можно находить и из

второго равенства, интегрируя по :

Тогда Отсюда

, Следова-

тельно, , а - общий интеграл исходного уравнения.

Замечание. Найдем функцию , используя формулу (1.25). Положим , тогда точка (1,1) принадлежит области непрерывности Имеем

откуда Следовательно, - общий интеграл уравнения.

Задача 1.17. Найти интегрирующий множитель и решить уравнение

Решение. поэтому

, т.е. и уравнение не является

уравнением в полных дифференциалах. Так как отношение

не зависит от , то интегрирующий множитель может быть найден по формуле Умножая исходное уравнение на , получаем уравнение в полных дифференциалах: , Тогда

, откуда , отсюда . Таким образом - общий интеграл уравнения.