1.5.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция является однородной функцией степени , если для всякого выполняется равенство При имеем ,т.е. получаем однородную функцию нулевой степени.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

(1.11)

называется однородным, если функция однородная функция нулевой степени, т.е. . Если в этом равенстве положить , то получим тождество . Таким образом, если ОДУ является однородным, то его правая часть будет функцией лишь одного аргумента . Обозначив эту функцию через , запишем уравнение в виде . Положим , тогда Подставим эти выражения в исходное уравнение, получаем ОДУ с разделяющимися переменными

Разделив переменные и проинтегрировав, найдем

(1.12)

Если , где - корень уравнения , то решением уравнения (1.11) будет также .

Уравнение , в котором заменой переменных где постоянные находятся из системы уравнений

приводится к однородному уравнению. При заменой уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Задача 1.8. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Разделим числитель и знаменатель правой части заданного уравнения на и преобразуем заданное уравнение к виду Делаем подстановку , где - новая неизвестная функция. Тогда и уравнение приводится к виду

,

т.е. к уравнению с разделяющимися переменными. В результате простых преобразований получаем

Разделим переменные ( и ):

.

Интегрируя, имеем

Заменяя на , получаем

Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением

при всевозможных значениях .

Задача 1.9. Привести дифференциальное уравнение

к однородному.

Решение. Положив получаем

,

т.е. . Подберем и так, чтобы Решая систему, находим Тогда исходное уравнение принимает вид , т.е. является однородным.

Задача 1.10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , у которой подкасательная равна сумме координат точки касания.

Решение. На рис.4 отрезок ВС является подкасательной. Касательная к искомой кривой проведена в точке . Так как по условию , то из прямоугольног о треугольника находим , т.е. . Решим полученное однородное дифференциальное уравнение. Полагая , откуда , имеем т.е. . Отсюда , или . Интегрируя полученное уравнение, имеем , , т.е. или

. Подставляя (по условию кривая проходит через точку , находим конкретное значение : . Таким образом, искомой кривой является

линия, определяемая уравнением

1.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно и , т.е. уравнение вида

, (1.13)

где и -непрерывные функции.

Если , то уравнение(1.13) принимает вид

(1.14)

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, соответствующим (1.13). Если отлично от тождественного нуля, то уравнение (1.13) называется линейным неоднородным.

Существует ряд методов решения ОДУ (1.13). Изложим два из них.

1. Метод Бернулли. Будем искать решение ОДУ (1.13) в виде Подставляя в (1.13) и опуская обозначение аргумента , получаем или

(1.15)

Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим первое дифференциальное урав-

нение . Это ОДУ с разделяющимися переменны-

ми, после разделения переменных и интегрирования находим

.

Тогда функция определяется из уравнения

(1.16)

Подставляем найденное в уравнение (1.16) и решаем его относительно . Записываем общее решение уравнения (1.13) в виде

2. Для решения неоднородного уравнения (1.13) можно применять метод Лагранжа иногда называемый методом вариации произвольной постоянной. Этот метод состоит в том, что сначала находят общее решение уравнения (1.14). Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (1.14)

(1.17)

Затем ищем решение неоднородного уравнения (1.13) в виде (1.17), считая неизвестной функцией от , т.е. полагая Подставляем в уравнение (1.13) и , определяемые из формулы (1.17) и из полученного дифференциального уравнения находим функцию . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1.13) получается в виде

.

Здесь содержит произвольную постоянную .

Уравнение вида

,

где , , а и непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.

Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки . Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегрировать с помощью подстановки (т.е. методом Бернулли) или методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Задача 1.11. Найти решение задачи Коши для уравнения

с начальным условием

1-й способ. Ищем решение уравнения в виде , где - неизвестные функции .

Уравнение принимает вид

(1.18)

Пусть одна из функций (например, ) удовлетворяет урав-

нению

, (1.19)

Тогда уравнение (1.18) примет вид

. (1.20) Уравнение (1.19) с разделяющимися переменными, из него находим . Поскольку нам достаточно какого-нибудь одного ненулевого решения уравнения, то возьмем . Подставляя в уравнение (1.20), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдем функцию :

Записываем общее решение исходного уравнения в виде

Используя начальное условие , находим .

Ответ.

2-й способ. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения Применяя метод вариации произвольной постоянной, ищем решение неоднородного уравнения в виде , где - неизвестная функция . Подставляя в уравнение и , получаем дифференциальное уравнение относительно : . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем , где - произвольная постоянная. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеем вид . Используя начальное условие , получаем , находим и подставляем в общее решение.

Ответ.

Задача 1.12. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно и , но является таковым относительно и .

Учитывая, что , приведем уравнение к виду

, т.е. , или

Решая методом Бернулли, полагаем , где - функции от . Тогда и

или Найдем из

уравнения , а затем из уравнения Ре-шаем уравнение с разделяющимися переменными т.е. откуда Выбирая одно из возможных решений (самое простое), имеем . Подставляя в уравнение , получим , т.е. , и, значит, . Следовательно, , т.е. - общее решение заданного уравнения, - особое решение.

Задача 1.13. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Уравнение приводится к виду . Полагаем . Получаем уравнение

или Решаем первое уравнение , разделяя переменные , имеем . Выбирая простейшее решение (при ), находим . Решаем второе уравнении с разделяющимися переменными: , т.е. , откуда Таким образом, , и, следовательно, , где - общее решение заданного уравнения, - особое решение.

Задача 1.14. Найти кривую, проходящую через точку и такую, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен абсциссе точки касания.

Решение. Пусть - касательная к искомой кривой в точке (рис. 5). Согласно условию . Найдем ординату точки , положив в уравнении касательной , где Имеем: Таким образом, получили линейное уравнение , или

Положив , решим его методом Бернулли: Получим : Находим : , или откуда т.е. , где Итак, , где - уравнение семейства интегральных кривых. Выделим среди них одну кривую, проходящую через точку : , а значит, . Следовательно, -уравнение искомой кривой.