- •I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения
- •3. Уравнения в полных дифференциалах (ознакомительно)
- •4. Линейные уравнения первого порядка
- •II. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Решение линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида методом подбора частного решения или методом неопределенных коэффициентов
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных (метод Лагранжа)
- •III. Варианты заданий к контрольной работе
- •Библиографический список
- •Содержание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Решение линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида методом подбора частного решения или методом неопределенных коэффициентов
Пусть требуется найти общее решение неоднородного линейного уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами
(22)
Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
При некоторых специальных видах неоднородности это частное решение можно подобрать по известной схеме.
1) Если где Рп (х) – многочлен степени п, то частное решение уравнения (22)
, (23)
если число k не является корнем характеристического уравнения, или
, (24)
если k – корень характеристического уравнения кратности s. Коэффициенты А0, А1,…, Ап можно найти методом неопределенных коэффициентов, подставив уч.н. и его производные нужных порядков в уравнение (22).
2) При , если числа a±bi не являются корнями характеристического уравнения, частное решение имеет вид:
, (25)
где многочлены с неопределенными коэффициентами одной и той же степени l = max(m, n).
Если же a±bi – корни характеристического уравнения кратности s,
. (26)
Если правая часть уравнения (22) представляет собой сумму функций, для каждой из которых можно подбором найти частное решение:
то частное решение такого уравнения является суммой частных решений уравнений и
Пример 19. Найти общее решение уравнения
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет корни 0 (кратности 1) и 1 (кратности 2). Следовательно,
Перейдем к поиску частного решения. Поскольку число 1 – коэффициент при х в показателе степени правой части уравнения – является корнем характеристического уравнения кратности 2, ищем уч.н. в виде (24) при s = 2, n = 0: yч.н.=Ax2ex. Тогда
Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение:
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:
Пример 20. Найти общее решение уравнения
Решение. Характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения: .
Найдем частное решение, соответствующее неоднородности f1(x) = 3x. Так как λ = 0 – корень характеристического уравнения, частное решение имеет вид (24): yч.н.1 = x (Ax + B) = = Ax2 + Bx. Поскольку при подстановке в уравнение получаем: 2A – 2Ax – B = 3x, откуда 2A – B = 0, - 2A = 3. Решая полученную систему, находим:
Для f2(x) = sin 2x yч.н.2 задаем по формуле (25) при a = 0, b = 2, l = 0:
yч.н.2 = A sin2x + B cos2x,
Подставим в уравнение:
Отсюда В = 0,1, А = - 0,2,
уч.н.2 = - 0,2 sin2x + 0,1 cos2x.
Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения:
Задания для самоконтроля:
Определить вид частного решения.
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. .
Ответ: .
Решить уравнения.
5. .
Ответ: .
6. .
Ответ: .
7. .
Ответ: .
8. .
Ответ: .
Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных (метод Лагранжа)
Если неоднородность в правой части уравнения (22) не позволяет использовать формулы (23)-(26) для подбора частного решения, можно воспользоваться методом вариации постоянных или методом Лагранжа.
Пусть решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (18) записано в виде: уо.о. = С1у1 + С2у2, где у1, у2 – фундаментальная система решений. Будем считать, что при этом решение неоднородного уравнения имеет вид: . Функции С1(х) и С2(х) можно определить из системы уравнений для их производных:
(27)
Пример 21. Найти общее решение уравнения
Решение. Решим однородное уравнение: λ2 + 64 = 0, λ = ± 8i, yо.о = С1cos 8x + C2sin 8x,
y = С1 (х) cos 8x + C2 (х) sin 8x. Составим вариационную систему:
Получена линейная система для С1’ и С2’. Для ее решения умножим первое уравнение на 8sin 8x, а второе – на cos 8x и сложим левые и правые части полученных равенств:
где
Теперь исключим из системы С2’. Для этого умножим первое уравнение на 8 cos 8x, а второе – на
–sin 8x:
Ĉ = const. Итак, общее решение исходного уравнения:
Задания для самоконтроля: Решить уравнения.
1. . Ответ: .
2. .
Ответ: .
3. .
Ответ: .
4. .
Ответ: ,
или .