- •I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения
- •3. Уравнения в полных дифференциалах (ознакомительно)
- •4. Линейные уравнения первого порядка
- •II. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Решение линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида методом подбора частного решения или методом неопределенных коэффициентов
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных (метод Лагранжа)
- •III. Варианты заданий к контрольной работе
- •Библиографический список
- •Содержание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
II. Дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальное уравнение
(11)
называется уравнением п-го порядка. Его общее решение содержит п произвольных постоянных: , а решение задачи Коши требует задания при х = х0 значений функции у и ее производных до (п–1)-го порядка включительно:
Рассмотрим основные виды дифференциальных уравнений, решаемые понижением порядка производной.
Уравнение вида
(12)
решается n– кратным интегрированием. После этого получается общее решение.
Пример 14. Найти общее решение уравнения .
Решение.
,
,
.
Пусть в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у, то есть уравнение имеет вид:
, (13)
то можно понизить его порядок на k единиц, сделав замену: Тогда
Пример 15. Найти общее решение уравнения
Решение. Пусть
Тогда
Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х:
3. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную х:
(14)
то можно понизить его порядок на единицу, считая, что Тогда , то есть вторая производная у выражается через первую производную р и т.д.
Пример 16. Решить задачу Коши для уравнения , если у(1)=2, у’(1)=2.
Решение. Делаем замену . Она приводит к уравнению откуда:
а) р = 0, у’ = 0, у = С, но у’ (1)=2 ≠ 0, значит, в этом случае решения нет;
б)
Тогда
Следовательно, искомое частное решение имеет вид:
Задания для самоконтроля: Решить уравнения.
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. .
Ответ: .
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(15)
где а1,…, ап – постоянные.
Решение уравнения (15) находим в виде
- подстановка Эйлера (16)
- неизвестная постоянная. Подставляя (16) в (15), получим уравнение
, (17)
которому удовлетворяет .
Уравнение (17) называется характеристическим уравнением.
Пусть - корни уравнения (17), причем среди них могут быть и кратные.
Возможны следующие случаи:
- вещественные и различные
Тогда фундаментальная система решений уравнения (15) имеет вид и общим решением искомого уравнения будем
.
Корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например,
, т. е. – является – кратным корнем уравнения (17), а остальные корнем различные.
Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид
,
а общее решение
Среди корней характеристического уравнения есть комплексные числа.
Пусть для определенности
а остальные корни вещественные (комплексные корни попарно сопряженные, т. к. по предположению коэффициенты уравнения (17) – вещественные).
Фундаментальная система решений имеет вид
а общее решение
в случае, если является – кратным корнем уравнения (17), то также будет – кратным корнем и фундаментальная система решений будет иметь вид
а общее решение
В частности, характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка
(18)
является квадратным: . Поэтому общее решение уравнения (18) может иметь один из трех видов:
а) если дискриминант характеристического уравнения а его различные действительные корни, то решение уравнения (18) выглядит так:
; (19)
б) если D = 0, характеристическое уравнение имеет один корень λ0, и общее решение уравнения (18) имеет вид:
; (20)
в) при D < 0 характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни , а общее решение уравнения (18) записывается в форме:
(21)
Пример 17. Найти общее решение уравнения .
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение: Значит, общее решение записывается в виде (19): .
Пример 18. Найти общее решение уравнения
Решение. Характеристическое уравнение имеет один действительный корень λ = 0 кратности 3 и два комплексно сопряженных корня: - 2 ± 3i. Поэтому, так как е0∙х = 1, общее решение записывается в форме (20) и (21):
.
Задания для самоконтроля: Проинтегрировать следующие однородные линейные уравнения.
1. .
Ответ: .
2. .
Ответ: .
3. .
Ответ:
.
4.
Ответ: ,