- •I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения
- •3. Уравнения в полных дифференциалах (ознакомительно)
- •4. Линейные уравнения первого порядка
- •II. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Решение линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида методом подбора частного решения или методом неопределенных коэффициентов
- •Решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных (метод Лагранжа)
- •III. Варианты заданий к контрольной работе
- •Библиографический список
- •Содержание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Однородные уравнения
Уравнение, которое можно записать в форме
(5)
называется однородным дифференциальным уравнением. Оно тоже может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными для функции . При этом и уравнение для t примет вид:
уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 6. Найти общий интеграл уравнения .
Решение. Разделим обе части равенства на х:
и сделаем замену: .
Тогда общий интеграл уравнения.
Пример 7. Найти общий интеграл уравнения y² + x²y′ = xyy′.
Решение. Преобразуем уравнение: y′(xy – x²) = y²,
,
.
После замены y = x t получим:
,
t – ln | t | = ln | x | + ln |C| , , .
К однородному уравнению, в свою очередь, можно привести уравнение вида
(6)
при условии . При этом производится параллельный перенос в плоскости (х, у) такой, чтобы начало координат совместилось с точкой (x0; y0) пересечения прямых ax + by + c = 0 и a1x + b1y + c1 = 0. Тогда в новых координатах уравнение будет выглядеть так: , или - однородное уравнение.
Пример 8. Найти общее решение уравнения .
Решение.
Решим систему уравнений . Тогда , и в новых переменных (с учетом того, что ) получаем уравнение . Замена приводит к уравнению
После упрощения и обратной замены получаем общее решение в виде:
.
Задания для самоконтроля: Решить уравнения
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .
3. Уравнения в полных дифференциалах (ознакомительно)
Если в дифференциальном уравнении
(7)
функции М (х, у) и N (x, y) удовлетворяют условию такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Смысл названия объясняется тем, что при этом существует функция U (x, y) такая, что Тогда из уравнения (7) следует, что , что является общим интегралом исходного уравнения. Таким образом, задача сводится к отысканию функции U. Ее можно найти в виде:
где х0, у0 – любые числа, входящие в область определения функций М и N, а - произвольная постоянная.
Пример 9. Решить задачу Коши для уравнения , если у(1) = 1.
Решение. Проверим, действительно ли перед нами уравнение в полных дифференциалах: условие выполнено. Для поиска U (x, y) зададим х0 = у0 = 0, тогда При х = у =1 найдем С из равенства ех + ху – еу = С: е + 1 – е = С, С = 1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: ех + ху – еу = 1.
4. Линейные уравнения первого порядка
Уравнение вида
(8)
называется линейным неоднородным уравнением первого порядка, поскольку искомая функция и ее производная входят в него в виде линейной комбинации. Если b (x) ≡ 0, уравнение является однородным, причем однородное линейное уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными.
Существует два способа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Первый способ - метод вариации постоянной.
Сначала ищется решение соответствующего линейного уравнения при нулевой правой части: . Разделяя в нем переменные, получим его общее решение в виде
Получив решение однородного уравнения в виде y = f (x, C), считают, что решение уравнения (8) имеет такой же вид, но С = С (х) – не постоянная, а функция от х, вид которой можно определить, подставив y = f (x, C (х)) в уравнение. Т.е
подставляем в (8) и получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции С(x), интегрируя которое находим эту функцию. В результате общее решение уравнения (8) может быть представлено в виде
(9)
Формула (9) является общим решением линейного дифференциального уравнения (8) в форме Коши.
Пример 10. Найти общее решение уравнения
Решение.
Решим однородное уравнение: Теперь будем искать решение неоднородного уравнения в виде:
у = С (х)∙е-2х.
.
Подставим y и y’ в исходное уравнение:
,
где - произвольная постоянная. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Пример 11. Найти общее решение уравнения у′ = 2 х (х² + y).
Решение. Представим уравнение в виде:
y′ - 2xy = 2x³
и решим соответствующее однородное уравнение:
y′ - 2xy = 0.
Применим метод вариации постоянных: пусть решение неоднородного уравнения имеет вид:
, тогда
.
Подставим полученные выражения в уравнение: .
Следовательно, ,
При этом общее решение исходного уравнения .
Второй способ – метод Бернулли.
Решение линейного дифференциального уравнения (8) может быть также получено, если искомую функцию представить в виде произведения двух произвольных функций:
.
Тогда
Подставляя и в (8), получим
Функцию u(x) подбираем так, чтобы она была одним из решений уравнения
.
После разделения переменных получим
Тогда уравнение (8) примет вид .
Следовательно,
Интегрируя это уравнение, находим функцию v:
.
Подставляя и v в , получим общее решение уравнения (8) в виде (9).
К линейному можно привести и уравнение вида
(10)
называемое уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли является нелинейным, но оно приводится к линейному следующим преобразованием. Для этого вводится новая функция ,
для которой .
Разделим обе части уравнения (10) на уп:
или получили линейное уравнение относительно z.
Пример 12. Найти общий интеграл уравнения .
Решение.
Разделим обе части равенства на у2: и сделаем замену: .
Решим уравнение для z методом вариации произвольной постоянной: . Однородное уравнение:
.
Подставим полученные выражения в неоднородное уравнение:
Пример 13. Решить уравнение
Решение.
Умножаем обе части уравнения на
Вводим замену и уравнение преобразуется в линейное
Находим сначала решение соответствующего линейного однородного уравнения
Решение неоднородного уравнения отыскиваем в виде
тогда
После интегрирования получим
поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид
Задания для самоконтроля: Решить уравнения
1. . Ответ: .
2. . Ответ: .
3. . Ответ: .
4. . Ответ: .