ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра высшей математики
и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Дифференциальные уравнения»
курса «Математический анализ»
для студентов направления подготовки бакалавров 080100.62 «Экономика», профилей «Экономика предприятий и организаций»,
«Финансы предприятий и организаций»
очной формы обучения
Воронеж 2014
Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,
канд. физ.-мат. наук Е.И. Максимова
УДК 517.9
Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Дифференциальные уравнения» курса «Математический анализ» для студентов направления подготовки бакалавров 080100.62 «Экономика» профилей «Экономика предприятий и организаций», «Финансы предприятий и организаций» очной формы обучения. / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, Е.И. Максимова. Воронеж, 2014. 51с.
В методических указаниях содержатся основные теоретические положения курса, которые иллюстрируются большим количеством задач, приводятся задачи и для самостоятельной работы.
Методические указания предназначены для организации самостоятельного изучения студентами первого курса дисциплины «Математический анализ».
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе MS Word 2007 и содержатся в файле «Diff11.doc».
Библиогр.: 7 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. М.В. Юрьева
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
Методические указания предназначены для студентов 1 курса ВГТУ экономических специальностей, изучающих в рамках курса «Математический анализ» тему «Дифференциальные уравнения». В них рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и высших порядков. В каждом разделе приводится решение типовых задач и примеры для самоконтроля. Для закрепления материала студентам в конце предлагаются задания для самостоятельного решения.
I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
,
(1)
связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную.
Частным решением такого уравнения является любая функция y = f (x), которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной.
Множество всех решений уравнения (1) называется его общим решением, или общим интегралом. Оно имеет вид
y = f (x, С), (2)
такой, что любое частное решение получается из формулы (2) при некотором значении произвольной постоянной С, и наоборот, любое фиксированное значение С дает функцию, являющуюся решением уравнения (1).
З
Рассмотрим некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка.
1. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
(3)
называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести к равенству
,
откуда
.
Если существуют первообразные
и
функций f(x)
и
,
общее решение уравнения (3) имеет вид:
Пример 1. Найти общее решение
уравнения
.
Решение.
Разделим переменные:
Обратите внимание на форму записи произвольной постоянной: если вид общего интеграла можно упростить потенцированием, удобно представить произвольную постоянную как логарифм другой произвольной постоянной. Тогда общий интеграл можно записать так:
Пример 2. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Приведем уравнение к виду, т.е разделим переменные:
,
.
Проинтегрируем обе части равенства:
.
Полученное уравнение можно считать общим интегралом или решением исходного уравнения.
Пример 3. Найти решение уравнения y′ctg x + y = 2, удовлетворяющее условию у(0) = -1.
Решение. Разделим переменные:
,
-ln | 2 – y | = -ln | cos x | - ln | c |, 2 – y = c• cos x.
Подставив в это равенство х=0 и у=-1, получим, что с=3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид:
y = 2 – 3cos x.
К уравнению с разделяющимися переменными можно привести и уравнение вида
,
(4)
где a, b,
c – постоянные. Для
этого вводится новая функция z=ax
+by + c.
Поскольку
и для z получаем
уравнение с разделяющимися переменными:
Пример 4. Найти частное решение
уравнения
,
удовлетворяющее условию у(4) = 1.
Решение. Пусть
Решим уравнение для z:
При х = 4, у = 1 получаем: 6 – 4 ln 5 = 4 + C, откуда
С = 2 – 4ln5. Следовательно, частное решение имеет вид:
Пример 5. . Найти
решение уравнения
.
Решение. Сделаем замену: z = 4x + 2y – 1, тогда
Вычислим интеграл в левой части равенства. Для этого сделаем замену
Это приводит к
Проинтегрировав теперь правую часть равенства, получим общий интеграл:
Задания для самоконтроля: Решить уравнения:
1.
.
Ответ:
.
2.
.
Ответ:
.
3.
.
Ответ:
.
4.
.
Ответ:
или
.