6. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

В тех случаях, когда число независимых испытаний велико, непосредственное вычисление вероятностей по формуле Бернулли представляет большие трудности, так как при этом определение биномиальных коэффициентов связано с вычислением факториалов при больших аргументах.

Факториал можно с достаточной точностью получить, применив так называемую асимптотическую формулу Стирлинга:

n!=n ,

в которой остаточный показатель удовлетворяет неравенству

0 при n .

Используя формулу Стирлинга, при n из (3.12) с точностью до малых порядка можно получить следующее асимптотическое равенство

 , x= . (3.13)

Эта формула носит название локальной предельной теоремы Муавра-Лапласа и дает достаточно хорошее приближение уже для n25, причем совпадение тем лучше, чем ближе p к 0,5. Символ ~ (асимптотическое равенство) означает, что отношение двух выражений, соединенных этим символом, стремится к единице при неограниченном возрастании n.

Пример 3.17. По данным ОТК завода, 0,8 всего объема выпускаемых микросхем не имеет дефектов. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 400 микросхем дефекты будут иметь 80 микросхем.

Решение. В соответствии с формулой (3.13)

P_n(m) или P_n(m) ,

где (x) табулирована.

В условиях примера n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Отсюда

x= .

Из таблицы приложений в [2] для функций (x) находим, что (0)=0,3989.

Тогда искомая вероятность

P₄₀₀(80) .

Заметим, что при вычислении этой вероятности по формуле Бернулли получается достаточно громоздкое выражение

P₄₀₀(80)= .

Пример 3.18. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение. По условию п=243; k=30; p=0,25; q=1–p=0,75. Так как п=243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Найдем значение х:

.

По таблице приложений в [2] найдем φ(1,37)=0,1561. Отсюда

.

7. Теорема Пуассона

Как уже отмечалось, приближение, даваемое формулой (3.13), вполне удовлетворительно для p, близких к 0.5. Однако при малых значениях p и больших значениях n существует другая приближенная формула, которая выводится в следующих предположениях.

Теорема Пуассона. Пусть p_n0 при n, причем так, что np_n, где 0. Тогда для любого m=1,2,...

. (3.14)

Соотношение (3.14) называется формулой или распределением Пуассона. Из-за малости значений p распределение Пуассона называют также законом распределения редких событий.

Формула Пуассона дает хорошее приближение формулы Бернулли при малых p и больших n. Ошибка от использования формулы Пуассона при n=5 и p= составляет менее 0,01%.

Пример 3.19. Сервисный автоцентр одновременно может обслуживать 100 автомобилей. Вероятность того, что в течение 1 мин автомобилист обратится в автоцентр, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение 1 мин обратятся в автоцентр: а) три автомобилиста; б) менее трех автомобилистов; в) более трех автомобилистов; г) хотя бы один автомобилист.

Решение. Поскольку обращения в автоцентр автомобилистов являются независимыми событиями, число n=100 велико, а вероятность p=0,01 мала, воспользуемся формулой (3.14).

а) Находим np=100 0,01=1. Вероятность события “в автоцентр обратились три автомобилиста” (m=3)

P₁₀₀ (3)  .

б) По этой же формуле вероятность того, что в автоцентр обратятся менее трех автомобилистов,

P₁₀₀ (0)+P₁₀₀(1)+P₁₀₀(2)  .

в) События A – “в автоцентр обратятся более трех автомобилистов” и – “обратятся не более трех автомобилистов” – противоположные, поэтому, согласно пп. “а” и ”б”, вероятность события A:

P(A)=1P( )=1(P₁₀₀ (0)P₁₀₀(1)P₁₀₀(2)P₁₀₀(3)) 

10,91970,0613=0,0019.

г) События A – “в автоцентр обратился хотя бы один автомобилист” и – “в автоцентр никто не обратился” – противоположные, поэтому вероятность события A есть

P(A)= 1P( )= 1P₁₀₀(0)  1 0,632.