5. Схема последовательных независимых испытаний. Формула Бернулли

Пусть проводится конечное число n следующих друг за другом, т.е. последовательных независимых испытаний, опытов или наблюдений. Независимыми они являются в том смысле, что исход или результат каждого из них не зависит от того, что мы имели на предыдущем этапе. Пусть в каждом испытании рассматривается происхождение или непроисхождение некоторого случайного события А, т. е. в каждом из n испытаний возможен один из двух исходов: А либо . При этом вероятности появления и непоявления А в одном испытании считаются заданными и постоянными во всей серии испытаний: Р(А)=p, Р( )=1-p=q. Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли, или биномиальной схемой.

Схема Бернулли имеет большое прикладное значение. В качестве такой схемы испытаний можно рассматривать, например, производство изделий на определенном оборудовании при постоянстве технологических и организационных условий. В этом случае изготовление годного изделия - успех, бракованного - неуспех. Если считать, что процесс изготовления одного изделия не зависит от того, были годными или бракованными предыдущие изделия, то ситуация будет соответствовать описываемой схеме. Другим примером является стрельба по мишени. Здесь попадание - успех, промах - неуспех.

В рамках схемы независимых испытаний важнейшей является задача вычисления вероятности того, что в n испытаниях интересующее нас событие А - успех произойдет ровно m раз, где m=0,1,…,n. Такую вероятность вычисляют, используя формулу Бернулли

(3.12)

Кроме вероятностей в условиях схемы Бернулли представляет интерес вычисление суммарной вероятности - вероятности того, что в n последовательных независимых испытаниях событие А произошло не менее и не более раз.

Наивероятнейшим числом появления события А в n испытаниях называется число, для которого вероятность превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее значение равно целой части числа np+p, если np+p - нецелое, т. е. =[np+p], а при целом np+p наибольшее значение вероятности достигается при двух значениях =np+p-1 и =np+p.

Пример 3.11. Система автоматического управления космического летательного аппарата состоит из шести основных узлов, вероятность выхода из строя каждого из которых при динамических перегрузках равна 0,3. При выходе из строя трех или меньшего числа узлов система автоматического управления из строя не выходит. При выходе из строя четырех узлов вероятность выхода САУ из строя равна 0,3, при выходе из строя пяти узлов - 0,7, при выходе из строя шести узлов – 1. Определить вероятность выхода САУ из строя при динамических перегрузках (событие A).

Решение. Вероятности выхода из строя четырех, пяти и шести узлов по формуле (3.12) соответственно равны:

P₆(4)= p) = ,

P₆(5)= (1p)= ,

P₆(6)= .

По формуле полной вероятности (3.10) находим вероятность выхода из строя САУ:

P(A) 0,0595 0,3+0,0102 0,7+0,0007 1 0,0257.

Пример 3.12. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий их четырех или не менее пяти партий из восьми?

Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны .

а) Вероятность выиграть три партии из четырех равна

.

А вероятность выиграть пять партий из восьми равна

.

Так как > , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех равна

А вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми равна

.

Так как > , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.

Пример 3.13. Известно, что 1/45 часть продукции, изготовляемой заводом, не удовлетворяет требованиям стандарта. Завод изготовил 4500 единиц продукции. Найти наивероятнейшее число изделий завода, удовлетворяющих требованиям стандарта.

Решение. Поскольку вероятность изготовления бракованного изделия q=1/45, то вероятность изделия, удовлетворяющего стандарту, p=44/45. По формуле (7.4)

4500 44/451/45  m_o  4500 44/45+44/45,

или

44001/45  m_o  4400+44/45.

Итак, искомое наиболее вероятное число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, равно 4400.

Пример 3.14. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

Решение. В данном случае событие А = {поступление заявки}, Р(А)= р =0,4; Р( )= 1-р =0,6, n = 10. Наивероятнейшее число заявок равно целой части числа np+p=4,4, т. е. =4. Вероятность получения четырех заявок в день равна

Пример 3.15. По цели производятся пять независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета.

Решение. Здесь n=5, p=0,6, q=1-p=0,4. Вероятность получения зачета равна вероятности того, что число попаданий , т. е.

При применении формулы Бернулли следует обращать внимание на те предпосылки, в условиях которых она справедлива. Еще раз перечислим их:

• n испытаний (опытов или наблюдений) должны быть абсолютно идентичными, т.е. в одинаковых условиях;

• результаты испытаний не зависят друг от друга;

• для каждого испытания возможны два исхода: «успех» и «неуспех»;

• вероятность успеха в каждом испытании одинакова.

Следующий пример показывает противоречивость расчета по этой формуле в случае, если не выполняется хотя бы одна из предпосылок.

Пример 3.16. Известно, что 20% населения некоторого города составляют бабушки. Какова вероятность того, что из 10 встреченных наудачу пешеходов будут 4 бабушки.

Решение. Использование формулы Бернулли здесь для n=10, p=0,2 и m=4 дает значение вероятности

Отсюда следует, что событие, о котором идет речь, является маловероятным или практически невозможным. Противоречие с реальной ситуацией объясняется тем, что вероятность «успеха» - встретить бабушку - непостоянна, она меняется в зависимости от района и времени встречи.

При больших значениях n и m формула (3.12) вычисления вероятностей может оказаться неприменимой, так как ее использование ведет к слишком громоздким вычислениям. В теории вероятностей для существуют предельные соотношения, о которых пойдет речь в последующих разделах.