2. Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности

В основе определения вероятности события лежит некоторый комплекс условий G, который остается неизменным при всех вариантах условий испытаний. Но, кроме этого, для того, чтобы установить характер соотношений между событиями А и В, приходится наблюдать происхождение или непроисхождение события А то без всяких дополнительных условий, то при условии, что уже произошло событие В. Если вероятность события А подсчитывается без каких-либо дополнительных условий или ограничений, то ее называют безусловной вероятностью данного события и записывают Р(А).

Вероятность события А, найденная при условии, что произошло некоторое другое событие В, называется условной и обозначается Р(А/В) либо . Условные вероятности обладают всеми свойствами безусловных вероятностей и находятся по тем же формулам.

Теорема 3 (умножения вероятностей.) Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению безусловной вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В) (3.6)

Теорема 3 распространяется и на большее, чем два число сомножителей

(3.7)

Пример3.5. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять - внутри страны, а три - на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

Решение. Используем для решения задачи формулу умножения вероятностей (3.6) и непосредственный подсчет по классическому определению, т.е. решим ее двумя способами.

1-й способ: событие А={первый взятый наугад заказ -- внутри страны}, В={второй, тоже взятый наугад заказ -- внутри страны}. Нам необходимо найти вероятность Р(АВ), поэтому по формуле (1.7)

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=(5/8)(4/7)=5/14.

2-й способ: событие А ={два выбранных наугад заказа -- внутри страны}. По классическому определению

Пример3.6. Совет директоров состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры?

Решение. Введем события:

А ={все члены - бухгалтеры}, ={i-й член - бухгалтер, i=1,2,3}.

Так как , то

Непосредственным подсчетом мы также получим

Замечание. Исходя теперь из теоремы умножения, можно дать следующее определение условной вероятности.

Пусть Р(В)>0. Условной вероятностью Р(А/В) события А при условии, что произошло событие В (или просто при условии В), назовем отношение

. (3.8)

3. Независимость событий

Понятие независимости относится к одному из основных в теории вероятностей.

Событие А называется независимым от события В в данных условиях, если происхождение или непроисхождение события В не меняет вероятности события А.

Иными словами, если события А и В таковы, что Р(В)>0, то существует условная вероятность Р(А/В). В случае, когда

Р(А/В)=Р(А),

мы говорим, что событие А не зависит от события В.

Если и Р(А)>0, то в этом случае по формуле (3.8)

т.е. из независимости А от В следует независимость В от А, т. е. понятие независимости А и В взаимно или симметрично.

Отсюда можно заключить, что если события А и В независимы, то независимы так же каждые два события (А, ), ( , ), ( ,В).

Из теоремы умножения вероятностей следует, что для независимых событий А и В имеет место равенство

Р(АВ)=Р(А)Р(В). (3.9)

События А и В называются независимыми, если для них выполняется равенство (3.9). Если (3.9) не выполняется, то события будем называть зависимыми.

Пример 3.7. Из колоды в 52 карты (состоящей из 13 карт каждой из четырех мастей) случайно вынимается карта. Установить независимость событий : А={вынут туз}, В={вынута карта бубновой масти}. Исследовать независимость этих событий при условии, что в колоде карт содержится еще и джокер.

Решение. Событие АВ={вынут туз бубновой масти}. Поскольку первоначально Р(А)=4/52=1/13, Р(В)=13/52=1/4, Р(АВ)=1/52 и Р(АВ)=Р(А)Р(В), то события А и В независимы. Если же колода содержит 53 карты, то Р(А)=4/53, Р(В)=13/53, Р(АВ)=1/53 и Р(АВ) Р(А)Р(В), события А и В становятся зависимыми в теоретико-вероятностном смысле.

Пример 3.8. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго - 0,8, для третьего - 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего.

Решение. Введем следующие случайные события:

А={ни один из станков в течение часа не потребует внимания рабочего};

={i -тый станок не потребует внимания рабочего, i =1,2,3}.

Очевидно, , где -- независимые события, вероятности которых известны, i=1,2,3.

Тогда