ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра высшей математики

и физико-математического моделирования

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы

по изучению курса

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов направления подготовки бакалавров 080100.62 «Экономика» профилей «Экономика предприятий и организаций», «Финансы предприятий и организаций»

очной формы обучения

Часть 1

Воронеж 2014

Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,

канд. физ.-мат. наук Е.И. Максимова

УДК 517.9

Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению курса «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов направления подготовки бакалавров 080100.62 «Экономика» профилей «Экономика предприятий и организаций», «Финансы предприятий и организаций» очной формы обучения. Ч. 1. / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, Е.И. Максимова. Воронеж, 2013. 49с.

В методических указаниях содержатся основные теоретические положения курса, которые иллюстрируются большим количеством задач, приводятся задачи и для самостоятельной работы.

Методические указания предназначены для организации самостоятельного изучения студентами второго курса дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».

Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе MS Word 2007 и содержатся в файле «TVMS1. doc».

Ил. 5. Библиогр.: 4 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Н.А. Борщ

Ответственный за выпуск зав. кафедрой

д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014

I. Случайные события

1. Случайные события и соотношения между ними

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо явления, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. Современное изложение их основано на теории множеств.

Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие или, как мы будем чаще говорить, просто событие. В реальном мире случайное событие - это исход какого-либо испытания, наблюдения или эксперимента, который может произойти (наступить, осуществиться) или не произойти (не наступить, не осуществиться). Исходя из реального смысла понятия события, можно определить следующие частные случаи понятия события и следующие операции над событиями. В тех случаях, когда мы одновременно рассматриваем несколько событий, мы всегда будем предполагать, что эти события могут произойти или не произойти при одном и том же испытании (то есть, при осуществлении заданного комплекса условий ).

Событие, которое обязательно происходит при осуществлении определенного комплекса условий , называется достоверным.

Событие, которое никогда не происходит при выполнении комплекса условий , называется невозможным.

Событие называется случайным при выполнении комплекса условий , если при выполнении этого комплекса оно то происходит, то не происходит.

Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами либо . Достоверное событие обозначим буквой , невозможное – . Приведем примеры событий.

Пример 1.1. Комплекс условий - подбрасывание монеты один раз. События:

={ появление герба };

={ появление цифры };

={ появление герба или цифры };

={ появление двух гербов }.

Пример 1.2. Комплекс условий - вынимание карты из колоды в 36 карт. События:

={ появление дамы пик };

={ появление туза };

={ появление карты бубновой масти };

={ появление карты любой масти };

={ появление тройки пик }.

Введем теперь некоторые соотношения между событиями:

1. Если каждый раз, как происходит событие , обязательно происходит и событие , то говорят, что влечет за собой :

Здесь -- причина, -- обязательное следствие ( является достаточным признаком события , а - необходимый признак события ).

2. Если событие влечет за собой событие и в свою очередь влечет за собой , то события и называются равносильными или равными друг другу в данных условиях:

.

Равносильные события по сути дела выражают различные стороны одного предмета. Они являются необходимыми и достаточными признаками друг друга. Они либо вместе происходят, либо вместе не происходят. При вероятностных расчетах их можно заменять друг другом.

3. Событие, состоящее в наступлении обоих событий и или в их совместном происхождении, называется произведением событий и и обозначается символом

4. Событие, заключающееся в происхождении хотя бы одного из событий и , называется суммой или объединением событий и и обозначается

5. Событие, заключающееся в том, что событие происходит, а событие отсутствует при этом, называется разностью указанных событий и обозначается

- .

Понятие произведения и суммы распространяется и на большее число событий. Так, событие означает, что в результате комплекса условий произойдет хотя бы одно из событий . Событие заключается в совместном происхождении всех событий .

6. Два события называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения:

Событие , противоположное событию , заключается в непроисхождении , т. е. происходит тогда и только тогда, когда не происходит.

7. Два события называются несовместными или несовместимыми, если их совместное появление невозможно, т. е. если

.

Для несовместных событий наступление одного исключает наступление другого.

8. Будем говорить, что событие подразделяется на частные случаи, представляющие из себя события , если выполняются два условия:

• представимо в виде суммы событий ;

• В этой сумме все слагаемые попарно несовместны, т.е.

Например, при бросании игральной кости или игрального кубика событие , состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на частные случаи , состоящие соответственно в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков.

Полной группой событий в некоторых условиях называется такая совокупность или множество событий, которые включают в себя все возможные исходы испытаний в данных условиях, т. е. если – полная группа событий, то .

Для вероятностных расчетов особенно интересны полные группы попарно несовместных событий, т.е. когда

Для лучшего понимания операций над событиями обычно используют условные графические изображения – диаграммы Венна.

П усть комплекс условий состоит в том, что внутрь прямоугольника наудачу бросается точка. Попадание точки внутрь прямоугольника - достоверное событие , за пределы прямоугольника - невозможное событие .

Попадание точки внутрь левого круга - событие , правого круга - событие .

Тогда введенные выше операции над событиями могут быть представлены в виде диаграмм Вьенна, где результаты операций изображены в виде заштрихованных фигур: