Математическое ожидание случайной функции X(t) будет равно
.
Дисперсия случайной функции X(t) равна:
.
когда:
;
.
Плотность
распределения
- нормальный закон по условию и параметры:
или
6.4.Cпектральные плотности
Корреляционная
функция является симметричной функцией
(четной функцией)
Известно, что чётную функцию на интервале ( -Т , Т ) можно разложить в ряд Фурье, пользуясь только четными (косинусоидными гармониками):
;
.
Тогда :
В соответствии со
спектральной теорией стационарных
случайных процессов можно рассматривать
спектр
.
Спектральное разложение на бесконечном участке времени.
На интервале ( -Т , Т ) спектр получается дискретным и линейчатым.
Если
то
и тогда расстояния
, т.е. спектр получится непрерывным.
Введем понятие «плотность» дисперсии
;
.
На рис.6.2 показана спектральная плотность
По прежнему
.
Используя ряд
Фурье для получения конечного выражения
в непрерывном (
)
варианте:
Нормированная
(s-малое !).
Если перейти к
комплексной форме (
)
преобразования Фурье для
на интервале
:
Эти формулы можно получить непосредственно, если выполнить:
).
По прежнему:
.
Пример:
С уменьшением
корреляционная функция стремится к
«0» медленнее.
С уменьшением спектральная плотность вытягивается вверх (т.е. превалируют низкие частоты).
Пример:
;
.
Преобразование случайной функции линейной системой
При преобразовании стационарной случайной функции линейной системой её плотность умножается на квадрат модуля частотной характеристики.
Уравнение системы:
;
;
частотная
характеристика;
.
Рассмотрим подробно задачу:
Известно:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
Для дисперсии:
Применение теории случайных функций к задачам анализа и синтеза
Анализ – определить
Синтез – min
Пример:
1)
2)
;
3)
;
4
)
;
5)
Этот результат более подробно получаем следующим образом:
Находим частотную характеристику и ее модуль:
С
пектральная
плотность:
8)
После подробного интегрирования получим следующий результат:
