4.2. Распознавание в многомерном пространстве

Рассмотрены в общем случае варианты решений, если число классов 1, 2…n и больше 2 (n>2). Число параметров также больше 2 и составляет X1…Xn, т. е. мы имеем вектор Х=(х1…хn). Отношение правдоподобия между каждыми двумя классами к и е.

для .

Платежная матрица:

.

Граница в пространстве признаков находиться из min среднего риска:

или или .

Е сли рассматривается многомерное нормальное распределение с вектором средних и ковариационной матрицей , т. е.

.

Тогда граница областей находиться из уравнения:

.

Полагают, что это уравнение гиперплоскости в пространстве n-признаков для двух состояний к и е из условия средних потерь.

4.3. Параметрические методы распознавания

Ищется в общем случае оператор от измеряемых признаков и

этот оператор сравнивают с некоторым порогом :

;

.

Метод статистических решений

Находят отношение правдоподобия состояний D1 и D2 из условия многомерного нормального распределения [PM для электронной промышленности], для чего достаточно знать векторы в каждом классе D1 и P2 и ковариационные матрицы D1 и D2. Для критерия максимального правдоподобия F(x) определяют из уравнения:

где T –знак транспонирования.

Если ковариационные матрицы D1 = D2 и состояния различаются лишь математическими ожиданиями, то решаюшая функция:

- называется дискриминантной функцией, линейность означает, что в пространстве n- признаков мы строим гиперплоскость.

Формально, надо, чтобы количество измерений было равно количеству признаков, но фактически надо, чтобы оно было в 3-5 раз больше для обучения.

Общий алгоритм:

- вероятность;

В многомерном случае:

; вместо ;

.

Вместо будем иметь квадратичную форму:

Тогда:

Е сли - среднее значение ;

- ковариационная матрица. Здесь .

Пусть имеем двумерный случай:

; .

Показатель экспоненты […] раскроем:

.

Отметим, что плотность вероятности и p-мерном евклидовом пространстве постоянна на эллипсоидах.

- для каждого положительного с.

Центром является точка 

Н аклон эллипса при R>0  45 к оси (1 – 3 квадрант) большая

при R<0  135 к оси (2 – 4 квадрант) ось

Б ольшая ось:

М алая ось:

Все это в условных переменных:

Д ля нормального распределения:

Здесь А = ^-1 (обратная ковариационная матрица).

Частный случай:

1a. Пусть теперь у нас есть две совокупности с равными ковариационными матрицами :

N(⁽¹⁾) и N(⁽²⁾).

О тношения плотности вероятностей:

ln K – показатель экспоненты возрастает, {…}

Е сли провести группировку, то в скобках {…} получим:

D(x) – дискриминантная (B) – вектор постоянных значений

функция для D(x)

Таким образом:

Имеем область R₁ или R₂ для любого Х:

R₁: если D(x) >> ln K+B;

R₂: если D(x) << ln K+B.

Если вводятся цены, то:

Е сли цены одинаковы, то K = 1; ln K = 0.

Т.о., имеем общий алгоритм:

1. Для каждого состояния находим:

₁, ₁ ₁, ₁

: : : :

_N, _N _N, _N

• 

1. (2)

З десь  = ₁² ₁_2p

₁_2p ₂²

2. Задаемся ценами C(1/2) и C(2/1) ошибочных классификаций и вычисляем пороговое:

3 a. Вычисляем постоянную компоненту классификации (вектор В):

3. Проводим D(x) и в пространстве x₁…x_N пользуемся решающим правилом

R₁: если D(x) >> ln K+B;

R₂: если D(x) << ln K+B.

Система для моделирования и диагностики аварийных состояний динамических объектов.

1. Модели совместных многомерных статистических

распределений: f(x₁, x₂, x_N)

а) коррелирование

многомерный б) некоррелирование

нормальный в) переход к новому пространству состояний

закон распределения г) проекции на плоскость

измерений (x₁, … x_N)

2. Восстановление статистических законов состояний по

косвенным измерениям:

многомерный А) контроль на входе W_IJ(S) - по

нормальный ситуации на выходе

з акон Б) контроль на выходе – по

распределения ситуации на входе

В–Г) то же, но для многомерного

варианта

Д) метод потенциальных

функций

3. Моделирование неизвестных многомерных законов f(x):

как суперпозиция нормальных законов

а) для коррелированных X_IJ-X_J

б) некоррелированные X_IJ-X_J

в) по методу ПФ те же варианты

4. Диагностика аварийных состояний динамических систем

(непрерывный вариант) с помощью линейных дискриминантных функций:

а) многомерный вариант без

различные корреляции

многомерные б) многомерный вариант с

законы корреляцией

в-г) вариант косвенных измерений

5. Диагностика аварийных состояний динамических систем

(марковские процессы 1 и 2 рода):

р азличные а) корреляционные изменения

законы б) некоррелированные измерения

распределения в-г) косвенные измерения

(вход, выход)

6. Последовательный анализ при диагностике аварий

(непрерывные системы):

а) нахождение верхних и нижних

границ для нормального

одномерное распределения

распределение б) нахождение верхних и нижних

границ для законов, отличных

от нормальных

в-г) то же – многомерный

вариант

7. Последовательный анализ для марковских процессов

(дискретные системы):

а) одномерный вариант

б) многомерный вариант

в) многомерный вариант с

корреляцией

г) отклонения от нормального

закона

д) косвенные измерения

8. Структура, общесистемная оболочка, состав модулей для

имитационного моделирования задач диагностики (включает все модули по п. 1-7)