6. Случайные функции

6.1. Законы распределения случайной величины

Случайной функцией Х(t) называется функция, которая в результате опыта может принять тот ил иной конкретный вид, неизвестный заранее.

Реализацией случайной функции называется конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта.

При фиксированном t случайная функция X(t) обращается в случайную величину X(t), называемой сечением случайной функции.

Одномерным законом распределения случайной функции X(t) называется закон распределения f(x, t) сечения X(t) случайной функции.

Двумерным законом распределения случайной функции X(t) называется закон распределения системы двух ее сечений: X(t1), X(t2), представляющих собой функцию четырех аргументов: f(x1,x2,t1,t2).

Случайная функция X(t) называется нормальной, если закон распределения системы любого числа (n) ее сечений представляет собой n – мерный закон распределения.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция , которая при каждом t представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции:

.

6.2. Корреляционная функция и ее свойства

Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений аргументов t, t’ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

где - центрированная случайная функция.

При корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции:

.

Основные свойства корреляционной функции:

1. т. е. функция не меняется при замене на (симметричность);

2. ;

3. Функция - положительно определенная, т. е.

где (t) – любая функция, (В)-любая область интегрирования, одинаковая для обоих аргументов.

4. При прибавлении к случайной функции X(t) неслучайного слогаемого (t), к ее математическому ожиданию прибавляется тоже неслучайное слогаемое, а корреляционная функция не меняется.

При умножении случайной функции X(t) на неслучайный множитель (t) ее математическое ожидание умножается на тот же множитель, а корреляционная функция – на (t)(t’).

Н ормированной корреляционной функцией случайной функции X(t) называется функция:

Стационарной случайной функцией X(t) называется случайная функция, математическое ожидание которой постоянно, , а корреляционная функция зависит только от разности между своими аргументами

,

где .

Из симметрии корреляционной функции следует, что , т. е. корреляционная функция стационарной функции есть четная функция аргумента .

Дисперсия стационарной функции случайной функции постоянна:

.

Корреляционная функция стационарной случайной функции обладает свойством:

.

Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции X(t) равна:

.

6.3. Пример случайной функции

Случайная функция задана в виде X(t)=Vt+b, где V – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , b – неслучайная величина.

Найти плотность распределения f(x,t), сечения случайной функции X(t) и ее характеристики: .