49

С. Л. Подвальный, В. И. Дорофеев, Е. С. Подвальный

Теория случайных процессов

Конспект лекций

Воронеж 1999

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра АВС

Воронежский государственный технический университет

С. Л. Подвальный, В. И. Дорофеев, Е. С. Подвальный

Теория случайных процессов

Конспект лекций

Воронеж 1999

УДК 519.212

Подвальный С. Л. , Дорофеев В. И. , Подвальный Е. С. Теория случайных процессов: конспект лекций. Воронеж: изд-во ВГТУ, 1999, 51 с.

В конспекте лекций рассмотрены законы распределения случайных величин и систем случайных величин, методы распознавания состояний в одно и многомерном случаях, случайные функции, их корреляционные функции и спектральные плотности, прикладные задачи теории вероятностей.

Издание предназначено для студентов специальности 220100 и подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе Word 97 и содержится в файле metod.doc.

Табл. 1. Ил. 18. Библиогр.: 9 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета.

Научный редактор д-р техн. наук В.Л.Бурковский

Рецензенты: кафедра математического моделирования

Воронежской Государственной технологической академии;

д-р техн. наук Г.И.Лозгачев

© Подвальный С.Л., Дорофеев В.И., Подвальный Е.С.

© Оформление. Издательство Воронежского

государственного технического университета.

Введение

В физической системе происходит случайный процесс, если она с течением времени может под влиянием случайных факторов переходить из одного состояния в другое. Теория случайных процессов изучает закономерности в случайных процессах и опирается на науку о закономерностях в случайных явлениях – теорию вероятностей. Дисциплина изучает основные положения теории вероятностей, законы распределения случайных величин и систем случайных величин, функции случайной величины, случайную функцию и ее корреляционную функцию и спектральную плотность.

В качестве прикладных задач теории рассматриваются способы распознавания состояний в одно и многомерных случаях, определение законов распределения случайных величин на основе экспериментальных данных, нахождение статистических характеристик случайных величин и решение обратной задачи поиска функциональной зависимости между случайными величинами. В курсе рассматриваются также примеры применения теории случайной функции к задачам анализа и синтеза систем автоматического управления.

Задачей дисциплины является развитие умения у изучающих курс практической реализации теории в инженерных задачах с применением современных средств вычислительной техники.

1. Основные понятия

Основные разделы теории вероятностей представлены на рисунке 1.1.

Рис.1.1. Основные направления теории вероятностей

Теория Вероятностей - наука о закономерностях в случайных явлениях

Примеры: 1) стрельба из орудия: несколько различных траекторий (ошибки изготовления, вес заряда, неоднородность структуры заряда, ошибка установки ствола под заданным углом, метеоусловия и многие другие факторы).

2) Розыгрыш лотерейных билетов (5 из 36, 6 из 48 и т.д.).

3) Подбрасывание монеты: герб и решка.

В

герб

тоже время, в условиях массовости этих явлений некоторые закономерности становятся устойчивыми и предсказуемыми.

 Р_герба  1/2 при N  

• Распределение точек попадания на плоскость имеет вид "эллипса рассеивания"

• Распределение сочетаний позиций (5 из 32, 6 из 36) подчиняется определенному закону.

Основные определения

1. Событие, вероятность события (частота события)

P(a)  M_a/N : P(b)  M_b/N;

0 << P_i << 1.

2. Случайная величина: величина, которая в опыте может принимать то или иное значение, причем неизвестно, какое точно.

Случайные величины могут быть непрерывные и дискретные.

От случайного события предпочитают (где это возможно) переходить к случайной величине.

3. Закон распределения случайной величины - соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями: таблицы, графики, функции.

3а. Функции распределения непрерывной случайной величины:

• интегральная функция распределения:

F(x) = P(X<x).

• плотность распределения случайной величины: f(x)

Иногда говорят дифференциальная функция (закон) распределения,

графическое изображение - кривая распределения показана на рис.1.2.

2. Случайные величины и законы распределения

1. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание (среднее значение):

Среднее значение:

Мода случайной величины - наиболее вероятное значение (для дискретных );

- максимальное значение плотности (для непрерывной величины).

Медиана: точка, где площадь f(x) делится пополам

Моменты, дисперсия (для дискретных величин)

Моменты начальные и центральные:

Моменты для непрерывных величин:

т .е. всегда верно (для непрерывных и дискретных величин ):

Ц ентральный момент - это соответствующие моменты степени s от центрированной случайной величины X:

В общем случае:

и для непрерывной величины:

Можно, если известно: непрерывная или дискретная величина имеет место - обозначать просто  _s и  _s.

Д ля получения соотношений между начальными и центральными моментами надо просто прямым вычислением (x_i - m_x)² получить соответствующие формулы.

Дисперсия: ₂ = D(x);

D(x) = V[(x-m_x)²];

(_x и D_x - это более простые обозначения ) ;

D_x = ₂ - m_x ² .

• ₃ - характеристика асимметрии;

(₃ = 0 для симметричных распределений);

S_k = ₃/_x⁴ - коэффициент асимметрии.

• ₄ - характеристика крутости (эксцесс);

E_x = ₄ /_x⁴ – 3;

(₄ /_x⁴ = 3 для нормального закона;

E_x - отклонение от нормального.

В общем случае можно вычислять моменты относительно любого смещения а, однако для центральных моментов (m_x = a) верно ряд замечательных свойств:

₁ = 0, ₂ = min.

Во многих исследованиях чаще всего используют:

₁ (математическое ожидание);

₂ (дисперсия и СКО  _x).

( это т.н. достаточные характеристики )