Учебное пособие 2032

tgx

1

.

2

cos x

ctgx

cosx

cosx sin x

cosx sin x

sin x 2

cosx 2

1

.

sin x

sin x 2

sin x 2

sin2 x

ctgx

1

.

sin2 x

3.4. Обратные функции. Производная обратной

функции

Пусть задана функция

y

f x

с областью определения

D и множеством значений E . Если каждому значению

y

E

ставится в

соответствие

единственное

значение

x

D ,

то

определена функция x

y

с областью определения E

и

областью значений D , называемая обратной по отношению к

функции y

f x . Про функции

y

f x

и

x

y говорят,

y f

x

относительно

x , то по исходной функции можно

найти обратную функцию. Например, для функции

y

3x

обратной функцией будет функция

x

1

. Однако, если,

как

3y

обычно,

независимую

переменную

обозначить через

x , а

зависимую

переменную

через

y ,

то

функция, обратная

функции

y

f x , запишется

в

виде

y

x .

В последнем

примере для функции y

3x обратной будет функция y

1

.

3x

Для существования взаимно однозначного соответствия

между

множествами

E

и

D

необходима

монотонность

любой

точке этого промежутка,

то

обратная ей функция

x

y

также имеет производную

y

в соответствующей

точке, определяемую равенством

x

1

.

f

x

функции

y

log a x . Рассмотрим функцию

y

a x с известной

производной

a x

a x ln a .

Тогда для

обратной

функции

x log a y

можно

указать

производную

x

1

1

.

y

a x ln a

Поменяв a x

на y , затем, перейдя к привычным обозначениям

loga x

1

.

x ln a

ln x

1

.

x

Аналогичным

образом

могут

быть

получены

Например, для

функции y

arcsin x

обратной

функцией

является функция x

sin y . Тогда

arcsin x

1

1

1

1

.

cos y

sin y

1

sin

2

y

1 x

2

Подобным образом получаем:

arccos x

1

,

arctgx

1

,

arcctgx

1

.

1 x 2

1

x 2

1

x 2

thx

shx

e x

e

x

,

гиперболический

котангенс

-

chx

e x

e

x

cthx

chx

e x

e

x

.

shx

e x

e

x

ch2 x

sh2 x

1;

sh x

y

shx

chy

shy

chx ;

ch x

y

chx

chy

shx

shy ;

th x

y

thx

thy

;

1

thx

thy

sh2x

2shx chx ;

ch2x

ch 2 x

sh2 x .

Найдем производные гиперболических функций:

e x

e x

e x

e

x

shx

chx ;

2

2

chx

e x

e

x

e x

e

x

shx ;

2

2

thx

shx

shx

chx

shx chx

ch 2 x

sh2 x

1

;

chx

ch 2 x

ch 2 x

ch 2 x

cthx

chx

chx

shx

chx shx

sh

2 x

ch 2 x

1

.

shx

sh

2 x

sh2 x

sh2 x

y x

y

x

y x

y

x

1.

c

0

11.

tgx

1

cos2 x

2.

x

x

1

12.

ctgx

1

sin2 x

3.

1

13.

arcsin x

1

x

2

x

1

x 2

4.

1

1

14.

arccos x

1

x

x2

1

x 2

5.

a

x

a

x

ln a

15.

arctgx

1

1

x 2

6.

e

x

e

x

16.

arcctgx

1

1

x 2

7.

loga x

1

17.

shx

chx

x ln a

8.

ln x

1

18.

chx

shx

x

9.

sin x

cos x

19.

thx

1

ch 2 x

10.

cos x

sin x

20.

cthx

1

sh2 x

логарифмическим

дифференцированием.

Метод

логарифмического

дифференцирования облегчает

взятие

множителей.

Пример

3.2

Найти

производную

функции

y

sin2 x

3

4

x 5

.

ctg

3 x

2 x 1

ln y

2 ln sin x

5

ln 4

x

3ctgx

x

1 ln 2 .

3

Продифференцируем данное равенство по x :

y

2 cos x

5

3

ln 2 .

y

sin x

3 4

x

sin2 x

Выражаем производную:

y

y

2cosx

-

5

3

- ln2

,

sinx

3 4 - x

sin2 x

y

sin 2

x

3

4

x 5

2cosx

-

5

3

- ln2 .

ctg

3 x

2 x 1

sinx

3 4 - x

sin2 x

ln y v lnu ,

y

v ln u v

u

, y y v ln u v

u

,

y

u

u

y u v v

ln u v

u

.

u

Пример 3.3 Найти производную функции y

x4

1 sin x .

Решение. Воспользовавшись предыдущей формулой,

получаем:

y

x 4

1

sin x

x 4 1

sin x

cos x ln x 4 1 sin x

4x3

.

x 4

1

y'x y't

' (x) .

Воспользовавшись теоремой о производной обратной

функции, заменим

на

1

. В результате подстановки имеем

x

xt

yx

yt

.

xt

Пример

3.4

Найти

производную

y x

параметрически

заданной функции

x

a cost,

y b sin t.

Решение.

Вычислим

производные

y't

b cost,

x't

a sin t . Тогда y'x

b cost

.

a sin t

Пример

3.5

Найти

производную

y x

параметрически

заданной функции

x

a(t

sin t), .

y a(1 cost).

Решение.

Вычислим соответствующие

производные

yt

a sin t ,

x

a 1

cost . Тогда

t

t

sin t

2 sin

cos

t

y'x

2

2

ctg

.

1

cost

2 sin

2

t

2

2

3.10. Неявная функция и ее дифференцирование

Неявно заданной функцией называется функция,

задаваемая

уравнением

F x, y

0 ,

не

разрешенным

относительно

y . Любую

явно заданную

функцию

y

f

x

можно записать как неявно заданную уравнением f

x

y

0 .

невозможен ввиду сложности связи переменных

x и y , как,

например, в неявно заданной функции y

sin xy

2x y

0 .

Для того, чтобы найти производную неявной функции

F x, y 0 ,

не

преобразовывая

ее

в

явную,

неявным образом:

x

y

e xy .

Решение. Дифференцируем левую и правую части

уравнения по x :

1

y

e xy

y

xy

или y 1

xexy

yexy

1.

Разрешая

уравнение относительно

y ,

находим

производную y

yexy

1

.

1

xexy

3.11. Уравнение касательной и нормали к графику

функции

Рассмотрим

график

функции

y

f x .

Выберем точку

M x0 , f x0

,

принадлежащую кривой,

и проведем через эту

функции в точке x0

(рис. 13)

y f x0

f x0 x x0 .

y

y f x0 f x0 x x0

f x0

M

y f

x

y

f x0

1

x x0

f

x0

0

x0

x

Рис. 13.